例談高考中絕對值問題的解題策略

☉江蘇省泗洪中學(xué) 陳亞娟

例談高考中絕對值問題的解題策略

☉江蘇省泗洪中學(xué) 陳亞娟

含絕對值的問題呈現(xiàn)出命題立意新穎、思維方式抽象、解題方法靈活、綜合性強等特點，是近年來高考中一顆璀璨的“明珠”，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中．解決此類問題的辦法一般是：數(shù)形結(jié)合或依據(jù)參數(shù)進行分類討論等，下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐談一些想法．

一、常見含絕對值函數(shù)類型

常見的絕對值函數(shù)主要包括y=|f（x）|和y=f（|x|）兩種類型，由于自變量x的取值被分成若干不同的區(qū)間，絕對值函數(shù)在不同的區(qū)間有不同的表達式：

其圖像作法可依不同區(qū)間分別來作：y=|f（x）|的圖像可以由y=f（x）的圖像在x軸上方不變，x軸下方的沿x軸向上翻折后所得；y=f（|x|）的圖像可以由y=f（x）的圖像在y軸右方不變，并將y軸右方的圖象沿y軸向左翻折后所得．一般含絕對值的函數(shù)問題均可由以上兩種基本絕對值函數(shù)組合或變換得到．

二、解題策略

（一）數(shù)形結(jié)合

華羅庚教授說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬事休．”就是說，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，能使復(fù)雜問題簡單化，從形的直觀和數(shù)的嚴謹兩方面思考問題，能拓寬解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合，利用這些特性作出函數(shù)圖像，解決數(shù)學(xué)問題．

例1已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，x∈R．若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為__________．

解法1：顯然a＞0．

（i）當y=-a（x-1）與y=-x2-3x相切時，如圖1，a=1，此時f（x）-a|x-1|=0恰有3個互異的實數(shù)根．

圖1

圖2

（ii）當直線y=a（x-1）與函數(shù)y=x2+3x相切時，如圖2，a=9，此時f（x）-a|x-1|=0恰有2個互異的實數(shù)根．

結(jié)合圖像可知，0＜a＜1或a＞9．

結(jié)合圖3可得0＜a＜1或a＞9．

點評：利用數(shù)形結(jié)合求方程解（或函數(shù)的零點）應(yīng)注意三點：

（1）討論方程的解（或函數(shù)的零點）可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準確性、全面性，否則會得到錯解或漏解．

（2）正確作出兩個函數(shù)的圖像是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以“快”和“準”為原則，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．

（3）注意挖掘隱含條件，結(jié)合圖像的臨界位置，準確地界定圖形的范圍，圖形的范圍決定參數(shù)的取值范圍．

圖3

（二）分類討論，逐步轉(zhuǎn)化

常見的絕對值函數(shù)問題，以考查思維能力為核心，強調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新意識．因此，教師要創(chuàng)新情境，引導(dǎo)學(xué)生在陌生情境中自我探索，獨立地思考分析問題，揭示其中的聯(lián)系和奧秘，在問題變化不定時，會用分類討論等數(shù)學(xué)思想將數(shù)學(xué)對象分為不同種類，然后對劃分的每一類分別進行研究或求解，從而達到“化難為易，化整為零，各個擊破”的目的．

例2已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）．

（1）若f（x）在［-1，1］上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）設(shè)b∈R，若［f（x）+b］2≤4對x∈［-1，1］恒成立，求3a+b的取值范圍．

由于-1≤x≤1，所以：

（i）當a≤-1時，有x≥a，故f（x）=x3+3x-3a，

此時f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，因此M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，M（a）-m（a）=4-3a-（-4-3a）=8．

（ii）當-1＜a＜1時，

若x∈（a，1），f（x）=x3+3x-3a，在（a，1）上是增函數(shù)，

若x∈（-1，a），f（x）=x3-3x+3a，在（-1，a）上是減函數(shù)，

所以M（a）=max｛f（-1），f（1）｝，m（a）=f（a）=a3，

由于f（1）-f（-1）=-6a+2，

（iii）當a≥1時，有x＜a，故f（x）=x3-3x+3a，此時f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，因此M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，故M（a）-m（a）=2+3a-（-2+3a）=4．

因為［f（x）+b］2≤4，對x∈［-1，1］恒成立，

即-2≤h（x）≤2對x∈［-1，1］恒成立，所以由（1）知，

（i）當a≤-1時，有x≥a，h（x）=x3+3x-3a+b在［-1，1］上是增函數(shù)，h（x）在［-1，1］上的最大值是h（1）=4-3a+b，最小值是h（-1）=-4-3a+b，則-4-3a+b≥-2，且4-3a+b≤2，即-3a+b≥2，-3a+b≤-2矛盾．

＜a＜1時，h（x）在［-1，1］上的最大值是h（-1）=3a+b+2，最小值是h（a）=a3+b，所以a3+b≥-2，3a+ b+2≤2，解得

（iv）當a≥1時，有x＜a，h（x）=x3-3x+3a+b在［-1，1］上是減函數(shù)，h（x）在［-1，1］上的最大值是h（-1）=3a+b+2，最小值是h（1）=-2+3a+b，所以3a+b+2≤2，-2+3a+b≥-2，解得3a+b=0．

綜上，3a+b的取值范圍-2≤3a+b≤0．

點評：本題主要考查函數(shù)最大（最小）值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證、分類討論、分析問題和解決問題等綜合解題能力．分類原則：（1）所討論的全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”；（2）在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行；（3）對多級討論，應(yīng)逐級進行，不能越級；（4）總結(jié)概括，得出結(jié)論．

（三）反客為主，運用反解系數(shù)解決

一類定區(qū)間上二次函數(shù)含絕對值的最值問題頻頻出現(xiàn)在模考、高考、競賽試題中，許多學(xué)生會無從下手．有時將所求的參數(shù)反解出來，揭示這類最值問題的背景及內(nèi)涵，并發(fā)現(xiàn)其中蘊涵的規(guī)律和方法，就可以達到觸類旁通、舉一反三的效果，真正讓學(xué)生從題海中解放出來．

例3已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），當0≤x≤1時，|f′（x）|≤1，試求a的最大值．

解：由f′（x）=3ax2+2bx+c，得

點評：問題中f′（x）=3ax2+2bx+c是二次函數(shù)，求a的最大值是單個系數(shù)的最值處理方法，解題時用區(qū)間［0，1］上的兩個端點和中點函數(shù)值來反解表示系數(shù)a，同時利用絕對值函數(shù)性質(zhì)|a±b|≤|a|+|b|進行求解，就獲得了解決．

（四）活用圓錐曲線的定義

類似橢圓類不等式|x-c|+|x+c|≤2a（a＞c）的解為-a≤x≤a或|x-c|+|x+c|≥2a（a＞c）的解為x≤-a或x≥a；類似雙曲線類不等式||x-c|-|x+c||≤2a（a＜c）的解為x≤-a或x≥a或||x-c|-|x+c||≥2a（a＜c）的解為-a≤x≤a．常常可以利用圓錐曲線定義解一類絕對值不等式．

例4不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為________．

此題為橢圓類不等式．問題關(guān)鍵：用橢圓的定義求出它的“中心”、“頂點”即可．

解：根據(jù)橢圓類不等式2a=5，2c=1-（-2）=3，“中心”

故由圓錐曲線定義易得不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為

（五）利用絕對值三角不等式

絕對值三角不等式在解決一些含絕對值問題中起著非常重要的作用．

例5求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值．

三、結(jié)束語

含絕對值的函數(shù)題型綜合性很強，它常常綜合二次（或三次）函數(shù)圖像與最值、函數(shù)的單調(diào)性、絕對值不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等知識的綜合考查，同時考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力．從以上的解題策略來看，我們主要采用絕對值不等式的性質(zhì)即純代數(shù)方法來解題和結(jié)合圖像的數(shù)形結(jié)合的思想來解．借助于分類討論，將問題條理化、系統(tǒng)化、清晰化，然后運用函數(shù)、方程及不等式的思想，靈活轉(zhuǎn)化，解決運動和變化中出現(xiàn)的問題，給學(xué)生提供思考的空間，使他們的聰明才智在解題中得到充分的展示，進而體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)“考素質(zhì)，考能力”的要求．因此，在復(fù)習時，教師要特別強調(diào)“形”與“數(shù)”的靈活轉(zhuǎn)化及分類討論的思想方法，它不僅是我們解題的一種思想方法，更是我們進一步學(xué)習、研究數(shù)學(xué)的有力武器．