三點共線向量式藏在深閨人未識巧用解題有優勢

☉西南大學附屬重慶市梁平實驗中學 蔣明建

三點共線向量式藏在深閨人未識巧用解題有優勢

☉西南大學附屬重慶市梁平實驗中學 蔣明建

一、三點共線向量式定理的背景

人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學·4》（必修）第二章向量中有這樣的結論（第99頁例8）：如圖1所示，設點P是線段P1P2上的一點，P1，P2的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2）.

圖1

（1）當點P是線段P1P2的中點時，則O →P=

（2）當點P是線段P1P2的一個三等分點（不妨取

二、三點共線向量式定理及證明

由于這一結論隱藏在普通例題之中，不深入挖掘難以發現，一般很少將其視為定理直接用于解題，真讓人有“未展芳容緣何來，藏在深閨人未識”之感.事實上，注意挖掘利用三點共線向量式這一定理（以下簡稱“定理”）解決有關問題，往往能收到事半功倍的效果，令人拍案叫好！本文通過運用“定理”對一些典型問題的求解，展現了“定理”在解題運用中的美妙與神韻.

三、定理的巧妙運用

（一）在三點共線判斷問題中的巧妙運用

三點共線問題，如果條件是向量形式給出的，就可根據三點共線向量式結論直接判斷.

例1已知A，B，C是直線l上的不同三點，點O不在l上，則關于x的方程的解集為_______.

已知A，B，C三點共線，根據“定理”知，（1-2x2）+（-x） =1，解得x=0

評注：題目已知條件明顯具備三點共線特征，直接運用“定理”求解，一步到位，簡潔明快．

（二）在用基向量表示其他向量問題中的巧妙運用

用基向量表示其他向量是平面向量的常見問題，利用“定理”能使問題求解變得十分簡便．

圖2

解：如圖2，因為A，M，D三點共線，由“定理”知，存在實數λ，使得

（三）在求值問題中的巧妙運用

1．求三角形面積

例3（2004年全國高中數學聯賽題改編）已知P是△ABC內一點，且，△PBC的面積是2015，則△PAB的面積是_______．

圖3

(3)所檢橋梁部分支座擋塊有開裂、破損、與梁體間隙過小及露筋現象，支座擋塊與蓋梁連接處存在較多的混凝土破損、開裂現象。

同理，延長BP，CP分別交AC，AB邊于E，F（圖3），算xy≠0），且x+2y=1，求cos∠BAC的值．

2．求三角形的角

例4已知O為△ABC的外心，AB=2，AC=3，若

3．求最值

S′（α）=-sinα-sin2α+cos2α=-2sin2α-sinα+1．

4．求比值

例6設M，N分別是正六邊形ABCDEF的對角線AC，CE的內分點，且若B，M，N三點共線，求λ的值．

解：如圖4，延長EA，CB交于點P，不妨設正六邊形的邊長為1，易知△ECP

圖4

評注：以上幾個例題，充分運用三點共線向量式定理求解，思維起點低，思路直接，有效避免了向量回路法運算的煩瑣，使問題求解簡便易行．

（四）在求數列問題中的巧妙運用

例7（2015重慶一中高考模擬試題第9題）如圖5，已知點D為△ABC的BC邊上一點En（n∈N+）為邊AC上的一列點，滿，其中實數列｛an｝中an＞0， a1=1，則數列｛an｝的通項公式為（）．

圖5

A．2·3n-1-1B．2n-1 C．3n-2D．3·2n-1-2

因為A，C，En（n∈N+）三點共線，所以，根據“定理”，，即an+1+1=3an+3，則an+1+1= 3（an+1），數列｛an+1｝是以2為首項，3為公比的等比數列，求得an=2·3n-1-1，選A．

評注：注意挖掘題目中的三點共線條件，靈活運用“定理”，以靜制動、化陌生為熟悉，給我們求解帶來了極大方便．精妙之極，展現了“定理”在解題中的神奇功效與魅力．

（五）在幾何證明題中的巧妙運用

對一些比較復雜的幾何證明題，善于挖掘三點共線條件，利用“定理”解決，不僅是一種全新的解題思路，更是一種有效的捷徑．

1．平面幾何問題的證明

例8如圖6，在△ABC中，設D，E是BC的三等分點，D在B，E之間，F是AC的中點，G是AB的中點，又H是線段EG和DF的交點，求證：

圖6

因為E，H，G三點共線，所以，依據“定理”，存在唯一實數λ，使得

因為D，H，F三點共線，所以，依據定理，存在唯一實數μ，使得

由①②，得

2.立體幾何問題的證明

例9（2013年浙江卷理科20題）如圖7，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，，M是AD的中點，P是 BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：PQ∥平面BCD.

證明：這是一道典型的將立體幾何問題轉化為平面幾何問題證明的題目，但若用三點共線向量式來證明，過程會變得更加簡潔明了.

連接A，P，交BD于N，連接CN，設A →P=λA →N（λ∈R），由P是BM的中點，有

圖7

評注：以上兩個題若用平面幾何知識證明，顯得比較困難、煩瑣，用向量法證明平面幾何問題，把幾何證明轉化為向量運算，特別是三點共線向量式定理的充分運用，達到了化難為易，化繁為簡的目的，大大縮短了解題過程，真可謂“四兩撥千斤”.

（六）在解決有關范圍問題中的巧妙運用

例10（重慶高2015級學業水平測試題第25題）已知P是

圖8

解析：根據所給題目，容易看出這是一個“變異”的線性規劃問題，即約束條件隱藏于向量條件之中.掀起向量蓋頭，挖掘隱藏在條件中的x，y滿足的關系，是解決問題的突破口.

評注：本題中x的范圍的確定是一個難點，但根據平面向量加法運算的平行四邊形法則和三點共線向量式定理來確定，可謂行云流水，事半功倍，充分展現了“定理”在解題運用中的魅力與神韻.

通過以上各題解答我們看到，充分運用三點共線向量式定理這個基本工具來解決有關三點共線的方程、三角形、數列、幾何、線性規劃等題目時，大大簡化了采用常規方法而產生的復雜的運算，使得過程簡潔流暢.這種將平面向量的思想延伸到數學其他多個分支中，體現了“定理”在數學解題中極其重要的地位與作用，不僅僅是知識層面上的交匯，更重要的是思想上、方法上的交匯；不僅有效實現了數學知識和方法的整合，同時對于學生創新意識的培養大有裨益，值得大家認真領會與進一步探索.

1.蔣明建.善用“1”巧解數學題［J］.《高中數學教與學》，2010（4）.

2.蔣明建.破解向量難題挖掘潛在信息［J］.《中學數學》（上），2013（5）.

3.吳成強.三點共線向量式的巧妙運用［J］.《中學數學教學》（高中版），2010（5）.