重溫高考經典，感悟試題真諦
——幾道與向量有關的高考試題的解法賞析與感悟

☉湖北省武穴市實驗高中 劉勝林

重溫高考經典，感悟試題真諦
——幾道與向量有關的高考試題的解法賞析與感悟

☉湖北省武穴市實驗高中 劉勝林

向量作為高中數學的重要解題工具，它具有代數與幾何雙重特性，與其他知識能進行巧妙的融合，能有效地考查學生的數學能力和數學素養，具有較好的甄別功能．因此與向量有關的高考試題備受高考命題者的厚愛，常將其作為選擇、填空試題中的壓軸題把關出現，成為學生考試的一道“瓶頸”．該類試題大多數情況下以凸顯向量的幾何特征來呈現命制，少許時候也以凸顯向量的代數特性命題．對此若能認真審題、揣摩題意，有效洞察向量代數與幾何之間的聯系，揭示向量的幾何意義，則可從“形”這個角度，數形結合轉化求解；或根據向量式所呈現出的幾何特性，通過建立恰當的平面直角坐標系，建立幾何代數相互轉化的橋梁與紐帶，將相關的幾何元素（式）坐標、代數化，最終通過純粹的代數運算來求解或將上述兩者結合在一起交叉使用，這樣不僅可快速地找準問題的著眼點，形成解題思路，還可優化解題過程，提高解題效率．下面通過對幾道歷屆高考向量試題的解法賞析，一起重溫高考經典，共同感悟試題真諦．

分析：本題題目精巧、題設條件簡約、入口平實，解法寬泛．若從幾何、代數兩不同角度去思考探析，則可得到不一樣的精彩．

圖1

圖2

例2（2014年安徽卷）在平面直角坐標系中，已知向量a，b，|a|=|b|=1，|a|·|b|=0．點Q滿足（a+b），曲線區域Ω=｛P|0＜r≤若C∩Ω為兩段分離的曲線，則（）．

A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R

圖3

解析：相比于例1，本題題設條件略顯復雜，但其幾何、代數特征明顯，入口清晰．注意到|a|=|b|= 1，|a|·|b|=0．不妨作O為原點建立如圖3所示的直角坐標系，則有a=（1，0），b=（0，1），從而=cosθ+bsinθ=（cosθ，sinθ），于是曲線C=｛P|O →P=（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π｝．又cos2θ+sin2θ=1，所以點P在以O為原點的單位圓上，即曲線C是以O為原點的單位圓．又Ω=｛P|0＜r≤|P →Q|≤R，r＜R｝，從而由其幾何意義知，集合Ω是以為圓心，半徑分別為r，R的兩圓所構成的圓環，因此要使C∩Ω為兩段分離的曲線，由圖形的直觀性、數形結合知，|QD|＜r＜R＜|QE|，即1＜r＜R＜3，故選A．

點評：通過建立恰當的直角坐標系來搭建幾何與代數間的橋梁，進而實現代數與幾何間的合理轉化，可使復雜的問題環境變得更加簡潔、明朗，問題本質凸顯，問題求解更加自然流暢一氣呵成，體現了該類問題求解的通性通法．

A．13B．15C．19D．21

圖4

考慮到△ABC是直角三角形，其幾何特征十分明顯，不妨利用題設條件的幾何意義數形結合分析求解．

圖5

點評：本題是一道幾何、代數特征較為突出的向量試題，法一通過建立恰當的直角坐標系，將題設條件坐標、代數化，繼而將目標問題轉化為函數的最值這一熟知的代數問題上來，最后運用基本不等式輕松獲解，該做法簡便易行體現了坐標法在該類問題求解中的優越性；法二從形這個角度，利用向量式（如模、向量加減法、內積等）的幾何意義及平面基本定理數形結合求解，凸顯了向量試題的幾何本質，是該類問題的一種常見求解方式.

解析：本題是一道與向量模的最值有關的試題，題設的向量式的幾何特征隱蔽性較強，問題入口隱藏較深，深入探究可以發現：由，得D為△ABC的外心；由可知，D為△ABC的垂心，從而△ABC為等邊三角形，D是△ABC的中心.又由知，P在以A為圓心，半徑為1的圓上，如圖6所示-2，D是等邊三角形△ABC的中心，從而又由等邊三角形的性質知，|DA|=，所以M為PC的中點.取AC的中點E，連接EM，

圖6

在△BEM中，有|BM|≤|BE|+|EM|（當且僅當E在線段BM上時，取“=”）.又|BE|=|AC|=3，從而|BM|max=，故選B.

基于△ABC是等邊三角形，D為△ABC的中心，不妨以D為原點建立如圖7所示的直角坐標系分析求解.

圖7

解法二：由上述分析可知，|DA|=|DB|=|DC|=2，從而A（0，-2），1，所以P在以A為圓心，半徑為1的圓上，故P的軌跡方程為x2+（y+2）2=1.設M（x，y），P（a，b），則由又P在x2+（y+2）2=1上，從而圓上.在圓E外，所以所以，故選B.

點評：深入挖掘題設向量式的幾何意義，進而揭示△ABC的幾何特點，是問題求解的關鍵，也是難點.解法一在△ABC為等邊三角形的條件下充分利用平面幾何圖形（如圓、三角形中位線、三角形三邊關系）的幾何性質，將問題轉化到三角形三邊間的關系上來分析求解，體現了問題求解的通性通法；解法二充分利用等邊三角形的幾何特性來建立恰當的直角坐標系將問題坐標、代數化求解，思路清晰、目標明確，易于操作，有效地降低了問題求解的思維含量.

綜觀上述高考試題，結合教學實際談如下幾點感悟，以期對高考復習備考工作帶來一些啟發與幫助.

1.加強高考試題研究，從變化的試題中去挖掘其不變的規律，從不變的問題本質中去展望試題的變化趨勢.高考數學試題是數學專家團隊與廣大一線優秀教師經過深思熟慮、精雕細琢而成的，是集體智慧的結晶.高考試題底蘊深厚、內涵豐富，可謂是“年年新氣象，屆屆有新意”，其試題背后蘊藏著巨大的寶藏，其研究價值與教學價值不言而喻.因此作為廣大一線教師我們應把高考試題作為教本材料來認真研讀，讓高考試題研究成為我們日常教育教學工作不可分割的一部分，通過對高考試題的歸類探析，一題多解、多題一解，試題尋根、背景追溯、試題的變式、結論的推廣與延伸等方式，從變化的試題中去挖掘其不變的本質，從不變的問題本質中展望試題的變化趨勢.如上述幾道與向量有關的歷屆高考試題，通過對該類試題的歸類探析可以發現平面向量常與不等式、函數、方程等為伴，以圓、特殊三角形、平行四邊形等為載體考查向量模、數量積或線段長度的最值問題.該類試題常具有幾何與代數兩大特性，因此通過建立恰當直角坐標系代數求解或充分利用題設條件與結論的幾何意義，數形結合探析就成為該類試題求解的兩大常見處理策略.特別是圓等特殊平面幾何圖形在向量中的嵌入，使得試題更加精巧、新穎，問題求解更靈活，能力立意考查更鮮明，大大提升試題的四度（難度、信度、效度、區分度），從而真正起到壓軸把關的作用，因此在以能力立意為宗旨的高考指揮棒下，該類試題勢必會成為高考向量試題考查的熱點題型，而備受命題者的青睞.

2.注重對課本的基礎知識、基本方法、技能的學習，熟練掌握一些平面幾何圖形的幾何性質及常見代數式的幾何意義.高考試題不僅在一定程度上濃縮了課本主要的基礎知識和基本技能，而且蘊藏著豐富的數學思想和思維方法.特別是一些以能力立意的壓軸試題，往往考查多個基礎知識，多種基本技能與數學思想方法.因此在日常教學中，應重視對課本的基礎知識、基本方法與技能的學習，把它弄透弄熟，絕不能因為師生在思想上的輕視麻痹而導致學生基本概念不清，基本方法與技能不熟，否則就會因小失大.如上述幾道高考試題中主要考查到向量的基本運算、平面向量基本定理、平面向量的線性表示、圓的定義、三角形三邊關系等基礎知識，考查了基本不等式的應用、相關點法在多動點問題中的軌跡探究、坐標法及數形結合在向量中的應用、利用三角形三邊關系求線段長度的最值等基本技能方法，如果對上述的一些基礎知識基本方法與技能掌握不牢，問題的求解就會陷入僵局，不能自拔.與此同時，在一些試題中，還應熟練掌握一些平面幾何圖形的幾何性質（如圓、等邊三角形、直角梯形等）及一些代數式的幾何意義.如上述試題中考查到圓的中點弦的性質、模的幾何意義、等邊三角形的幾何性質（如外心、重心的向量式等），只有理解并熟練掌握一些平面幾何圖形的基本性質、一些代數式（向量式）的幾何意義，才能在問題的求解中切中問題要害，找準問題的著眼點，繼而打開思維入口，形成解題思路.

3.強化數形結合意識，同時注意數形結合的科學性與合理性，切勿盲目使用.對于某些問題如單純地從數的角度去分析探求可能會運算煩瑣，甚至欲罷不能.因此可從形的角度去揭示問題的幾何本質，進而構造直觀的圖形來刻畫問題的條件和結論，這種處理問題的方式簡稱數形結合.數形結合是高中數學中的一種極為重要的思想方法之一，它充分應用數的嚴謹和形的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的直觀描述、代數的推理證明來解決問題的一種重要思想方法.該思想方法是培養學生能力、提升學生思維品質的一大有利武器，它能使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.如上述2016年四川卷第10題，通過探究題設向量式的幾何意義，揭示其幾何本質，繼而使得△ABC的幾何特性躍然紙上，爾后通過合理構造直觀圖形，用形來刻畫問題中的條件與結論，問題的求解就會呼之欲出.當然在利用數形結合法解決數學問題時要注意其科學性與合理性，不能為了數形結合而數形結合，這需要我們注意以下幾點：（1）要徹底明白一些概念和運算的幾何意義及曲線的代數特征；（2）要注意等價性，即要注意由圖形不能精確刻畫函數關系而帶來的負面效應；（3）要注意雙向性，由數思形、以形啟數，既要對問題進行直觀的幾何分析，又要對其作相應的代數抽象探究，否則，僅對代數問題進行幾何分析容易失真.

1．呂丹.《高考中數形結合思想教學的構建與思考》.中學數學（上），2012（11）.

2．劉勝林.《例談2013年高考試題對數形結合思想的考查》.中小學數學（高中版），2013（7-8）.