與圓錐曲線離心率有關(guān)的問題探究

☉河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 趙繼勇

與圓錐曲線離心率有關(guān)的問題探究

☉河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 趙繼勇

與圓錐曲線離心率有關(guān)的問題一直是高考的熱點(diǎn)，圓錐曲線的離心率問題的解法有多種，如果我們能抓住關(guān)鍵，掌握規(guī)律，就能輕松、快速地解決相關(guān)問題，那么，關(guān)鍵是什么呢？規(guī)律又有哪些呢？下面筆者結(jié)合幾類問題探討一下有關(guān)解題策略．

一、與離心率有關(guān)的取值范圍的研究

這類題目的解法，常常是利用已知條件直接構(gòu)造不等式：利用圓錐曲線的范圍及最值構(gòu)造不等式；數(shù)形結(jié)合借助平面幾何知識(shí)構(gòu)造不等式；利用判別式、均值不等式或其他基本不等式來構(gòu)造不等式；利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式．

分析：此題可以根據(jù)圓錐曲線的自身性質(zhì)求離心率的取值范圍．

解法一（數(shù)形結(jié)合法）：設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

解法二（直接法）：設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），由代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2，得

解法四（焦半徑法）：設(shè)∠F1PF2=α，點(diǎn)P（x0，y0）．

由焦半徑公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0．

由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα=|F1F2|2．

解法五（均值不等式法）：由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-，得|PF1||PF2|cosα=c2，代入上式得|PF1|2+|PF2|2=6c2．

由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a，根據(jù)均值不等式

又因?yàn)閨PF1|·|PF2|≤a2-c2，c2≤a2-c2，c2≤3a2，

關(guān)鍵是找到含有a，b，c（或a，b，c中的兩個(gè)）的一個(gè)不等式，可借助圖形、圓錐曲線定義或常見結(jié)論等知識(shí)尋求解決問題的突破口．

解：如圖1，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，半焦距為c，連接AF1，BF1，則四邊形AF1BF為平行四邊形，所以|AF1|+|BF1|= |AF|+|BF|=4．根據(jù)橢圓定義知，|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a，所以4a=8，得a=2．因?yàn)辄c(diǎn)M到直線l的距離不小于，所以b2≥ 1，即a2-c2≥1，4-c2≥1，得所以橢圓的離心率的取值范圍為

圖1

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查考生的等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的能力，由|AF|+|BF|=4是否能等價(jià)轉(zhuǎn)化為4a=8，另一方面草圖對(duì)解題有不可輕視的指導(dǎo)引領(lǐng)作用．

二、離心率的值

解這類題的關(guān)鍵是：尋求建立a、b、c（或a、b、c中的兩個(gè)）的一個(gè)等式或不等式；從“形”入手，從“數(shù)”下手；從圓錐曲線的定義思考，從幾何圖形的性質(zhì)出發(fā)，從方程（或不等式）的角度落筆；結(jié)合平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)，平面向量的知識(shí)，三角函數(shù)，柯西不等式，并充分利用數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想、函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論的思想．

根據(jù)題目給定的條件，尋找并建立含有a，b，c（或a，b，c中的兩個(gè)）的一個(gè)等式，即可求得離心率．

例3平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2=2py（p＞0）交于O，A，B．若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為________．

圖2

因?yàn)镕是△ABC的垂心，所以kOB·kAF=-1．

點(diǎn)評(píng)：（1）畫圖很重要，不畫圖做對(duì)題，那是不可能的，所以要做題得先畫圖．

（2）若題目較復(fù)雜，則需要耐住性子，要清醒地認(rèn)識(shí)到：題易，我易，他易，不大意；題難，我難，他難，不畏難．此題圖形有點(diǎn)復(fù)雜，但關(guān)鍵是要找到關(guān)于a、b、c（或a、b、c中的兩個(gè)）的一個(gè)等式，沉著冷靜，膽大心細(xì)，足以應(yīng)對(duì)．

三、與離心率交匯的其他問題

這類問題要注意全方位，多角度去思考，尋求多方著力，盡可能通過分析推理得出最簡(jiǎn)便的方法．

例4已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）．

解法一：如圖3，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2．

即4c2=+rr．12

又根據(jù)定義知，r1+r2=2a1，r1-r2=2a2，

得r1=a1+a2，r2=a1-a2，

解法二：如圖3，設(shè)|PF1|= r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2；橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2．

由定義得r1+r2=2a1，r1-r2= 2a2，平方得．又由余弦定理得柯西不等式得

圖3

解法三：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2．

由余弦定理得4c2=-r1r2=（r1+r2）2-3r1r2=4-3r1r2，

消去r1，r2，得以下同解法二．

解法四：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2．

解法五：設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，r1＞r2，|F1F2|=2c，橢圓的長半軸長為a1，短半軸長為b1；雙曲線的實(shí)半軸長為a2，虛半軸長為b2；橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2．

以“形”入手，借助函數(shù)、柯西不等式、三角函數(shù)、焦點(diǎn)三角形面積公式等，都是為了有效地架起已知與求解之間的橋梁，意在考查考生利用知識(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化問題和解決問題的能力．