以圖形為導向，為思維搭橋梁

凌潔

[摘 要] 圖形是數(shù)學學習的核心元素，更是初中數(shù)學教學的訓練重點. 以圖形為導向開展教學，是有效強化思維過程的科學方法，更是教學活動設計的關鍵所在. 為了形成以圖形為主題的系統(tǒng)性教學方法，筆者多方查閱了相關教學理論，并通過廣泛調(diào)研收集了大量教學實例，形成了本文中的多層次論述.

[關鍵詞] 初中；數(shù)學；圖形

初中數(shù)學當中的知識內(nèi)容多種多樣，千變?nèi)f化. 但是，如果用一句話對這門學科進行總結(jié)，筆者認為，這是一門數(shù)字與圖形相結(jié)合的學問. 在對各個模塊的知識內(nèi)容進行探究時，我們不難發(fā)現(xiàn)，只要是有價值的數(shù)學語言，其背后都存在著具體生動的圖形. 我們在閱讀一段數(shù)學文字時，便能夠很自然地將所對應的內(nèi)容用圖形表現(xiàn)出來. 與之相對地，從每一個具有典型意義的數(shù)學圖形當中，我們也總能夠分析出其中的理論內(nèi)涵與規(guī)律方法. 由此可見，圖形是初中數(shù)學的核心關聯(lián)，更是數(shù)學思維的便捷橋梁. 強調(diào)數(shù)學圖形，是教學設計當中的重點.

于數(shù)式關系中運用圖形，有效

搭建思維橋梁

數(shù)與式是初中數(shù)學的入門知識模塊，對于整個時期的學習效果起著關鍵的基礎鋪墊作用. 因此，將這部分知識內(nèi)容理解到位，是初中生的一個重要學習任務. 這部分內(nèi)容，表面看來比較固化，但由于其理論性較強，所以學生往往無法在初次學習時便將其內(nèi)涵掌握全面. 這時，就需要圖形元素的適時介入.

例如，教學完有理數(shù)部分的基本知識后，筆者請學生以這樣一道習題進行練習：圖1當中所表示的是實數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置關系. 那么，對+a-b進行化簡的結(jié)果是什么？很明顯，想要準確地化簡上述式子，學生的入手點只有這幅數(shù)軸圖形. 為了得到充足的分析依據(jù)，必須從這個圖形當中找出有效的已知條件. 問題的難度雖然并不算大，但對于剛剛接觸過這部分基礎知識的學生來講卻提出了一個很明確的啟發(fā)，那就是結(jié)合圖形對數(shù)量關系進行分析的能力. 這也讓學生認識到，結(jié)合圖形進行思考是解答數(shù)式關系問題的一個有效途徑.

剛剛開始接觸數(shù)式關系時，很多學生都表示難度不大. 但是，初次學習結(jié)束后，對大家的學習效果進行測試，便發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生并沒有將知識的內(nèi)核掌握清楚. 究其原因，就是學生的學習思維始終停留在理論層面，沒有“落地”，即沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)式關系的確切內(nèi)涵. 圖形的出現(xiàn)，很好地解決了這一學習困境.

于方程問題中運用圖形，有效

搭建思維橋梁

將方程內(nèi)容與圖形聯(lián)系起來，很多學生初次聽起來會感到不可思議. 從直觀上來講，方程給大家留下的印象通常都是一行行數(shù)字與字母的復雜結(jié)合，由學生們不斷地去解出一個個復雜的方程式. 但是，方程的含義與適用并不僅限于此. 很多問題的解答，都需要以方程為媒介，這也是學生們必須掌握的技能.

例如，在對不等式的內(nèi)容進行教學的過程當中，筆者選擇了這樣一道題目進行輔助：若關于x的不等式組x-a>0，2-x>0 有兩個整數(shù)解，那么a的取值范圍是什么？題目雖然并不復雜，卻并不是僅靠數(shù)字層面上的計算分析就可以很好地解決. 為了完成對這個方程形態(tài)的不等式組的思考，必須結(jié)合圖形展開. 具體步驟為：先將題目當中的不等式組解答到x>a，x<2 的程度，并將其中的x<2在數(shù)軸上予以標記（如圖2）. 這時，想要將不等式組的整數(shù)解控制在2個，結(jié)合數(shù)軸圖形可知，這兩個整數(shù)解只可能是1和0，因此-1≤a<0的正確結(jié)果也就輕松可得了. 這道題很好地展現(xiàn)了圖形在方程問題當中的適用方式. 方程的解的形態(tài)可以直接在數(shù)軸或平面直角坐標系當中予以表示. 因此，這樣的圖形也就成為分析方程問題的有力工具. 特別是對于不等形態(tài)的方程來講，借助圖形輔助分析更是一個極佳的選擇.

由于方程方法的廣泛適用，學生會在這部分知識的學習中遇到各種各樣的問題. 這些問題，有的比較簡單，有的則比較復雜. 為了將一些復雜問題剖析清楚，就需要引入圖形的方式，幫助學生理清思維，找到問題的本質(zhì)所在.

于各類函數(shù)中運用圖形，有效

搭建思維橋梁

對于初中數(shù)學來講，函數(shù)是一個極為重要的知識內(nèi)容. 函數(shù)既是一個具體的知識模塊，又是一種適用于多種題目解答的思維方法. 因此，函數(shù)對于初中數(shù)學的價值不言而喻. 關于函數(shù)的數(shù)學問題更是復雜多變. 在解答函數(shù)題目時，我們經(jīng)常需要運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，這也是圖形的適用之處.

例如，在函數(shù)章節(jié)的測驗中，出現(xiàn)過這樣一道習題：如圖3所示，如果將運動員在進行10 m跳臺跳水訓練時看作一個點，那么，整個跳水過程可以表示為圖中的一段拋物線. 該拋物線經(jīng)過原點O. 在某個動作的完成過程中，要求運動員騰空最高時距離水面的距離為10 m，入水時，入水點距離泳池邊緣的距離為4 m，且運動員必須在距離水面高度為5 m之前完成全部翻騰動作. 那么，這條拋物線的解析式是什么？若當運動員在空中完成全部翻騰動作并準備好入水時，距離泳池邊緣的長度為3 m，那么，這次跳水能否達到預期效果？這道應用性題目很好地融入了函數(shù)圖像的元素. 通過對這道題目進行分析和計算，學生深刻地感受到了函數(shù)與圖形的零距離貼合，并找到了二者之間的最佳結(jié)合點.

函數(shù)的內(nèi)涵本來就需要通過具體圖形表現(xiàn)出來，圖形與函數(shù)的聯(lián)系自然是十分緊密的. 因此，在解答與各類函數(shù)相關的問題過程當中，圖形都是不可或缺的工具. 圖形的運用有效地打通了函數(shù)表面與內(nèi)涵之間的壁壘，讓學生得以更好地把握函數(shù)，解答問題.

于概率統(tǒng)計中運用圖形，有效

搭建思維橋梁

概率統(tǒng)計內(nèi)容雖然不是初中數(shù)學當中的核心內(nèi)容，卻也是各類考試都會出現(xiàn)的考點. 這部分知識的難度并不算小，想要把概率統(tǒng)計的分數(shù)穩(wěn)穩(wěn)拿到，也并不是那么容易的. 同上述幾種知識內(nèi)容不同，在很多情況下，圖形并不是學生分析問題時自行畫出的，而是配合題目條件而出現(xiàn)的.

例如，為了訓練學生在概率統(tǒng)計題目當中搜集有效信息的能力，筆者為學生設計了這樣一道習題：某出版社為了掌握讀者對其所出版的雜志當中四個版面的興趣情況，特意面向廣大讀者進行了調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果總結(jié)成了圖4當中的統(tǒng)計圖. 那么，能否結(jié)合柱形圖將扇形統(tǒng)計圖補充完整呢？為了能夠讓出版社將這本雜志辦得更好，你能否為出版社提出一條有效的發(fā)展建議呢？問題并沒有針對某個具體的數(shù)據(jù)進行計算，卻要求學生對于題目當中所出現(xiàn)的兩幅統(tǒng)計圖進行全面深入的分析. 只有大家能夠從中找到足夠多的有價值的數(shù)量信息，才能使問題得到準確解答. 在解答概率統(tǒng)計問題時，圖形分析是學生所必備的能力，解題思維也是從圖形當中得到的.

在概率統(tǒng)計內(nèi)容的學習過程中，圖形是一個必不可少的元素. 很多已知條件都是通過圖形來表現(xiàn)的. 因此，在處理這部分知識時，讀圖能力是教學訓練的重點. 當學生能夠順利從圖形當中解析出全部有價值的信息之后，解題自然不再困難.

對于初中數(shù)學的學習實效提升來講，圖形無疑是最為突出的一個學習捷徑. 一方面，在圖形的闡釋之下，原本抽象的理論內(nèi)容會具體生動許多，這就為學生的知識理解降低了難度. 另一方面，在一些復雜問題的分析過程中加入圖形，能夠讓思維更加清晰、明確，還能從中看到更多知識細節(jié)與深入的切入點，為進一步靈活探究提供動力. 可以說，將圖形作為初中數(shù)學教學的有力導向，是從思維高度出發(fā)所提出的教學觀點，值得廣大教師深思并投入實踐.