分類討論法在初中數學教學中的滲透

范莉

[摘 要] 分類討論法是初中數學中一種重要且實用的問題分析方法，其中蘊含著重要的數學思想價值. 本文從分類討論法的概念和實質出發，結合初中數學的教學實踐，從數學概念教學、數學法則（公式、公理）應用、數學解題練習三個方面對分類討論法的滲透式教學進行了深入地探討.

[關鍵詞] 分類討論法；初中數學；滲透式教學

分類討論法在初中數學中有著非常重要的地位，實際教學中，我們應該如何向學生進行滲透呢？對此，筆者有以下思考.

分類討論法的概念及其實質

分類討論法是一種非常重要的數學問題分析方法，是一種常用的解題策略，也是一種數學思想，其概念可以這樣闡述：根據研究對象的情境差異，將其分成不同類型的情況，進而給予針對性分析及解決的策略和方法.

分類討論法是當前中考數學重點考核的內容，其實質是一種將復雜問題先化整為零，再逐個分析處理之后形成結論的數學思維方法，它從數學問題之間的本質聯系出發，有助于學生邏輯思維和歸納總結等能力的培養.

此分析方法的運用先要對問題形成一個宏觀性的認識，然后確定分類標準，進而搭建分類框架，由此分門別類地進行不遺漏、不重復的研究分析，直至問題全方位地解決. 分類討論法運用的關鍵是嚴謹而科學地進行分類，并確保不出現重復和遺漏的分類情形.

分類討論法在初中數學教學實

踐中的滲透

作為初中數學體系中最為基礎、最為重要的一項研究方法，我們要將它廣泛地滲透在數學教學的每一個領域.

1. 在數學概念教學中滲透分類討論法

雖然分類討論法非常重要，但是初中生的分類討論意識卻不強，最明顯的表現就是他們不知道哪些問題的處理需要分類處理，也不知道如何進行正確而合理的分類. 這就需要教師在教學過程中有效挖掘教材，積極創設情境，積極進行強化，并對學生進行啟發和誘導，以此揭示分類討論法的本質，幫助學生自覺形成采用分類討論法的意識.

在初中數學的知識體系中，很多數學概念的定義都滲透著分類討論的思想，例如實數與有理數的分類、絕對值化簡處理、一元二次方程根的判別式、直線與圓的位置關系等. 上述涉及分類討論法的問題，教師在進行教學時，要引導學生準確而科學地進行分析，從而讓學生在概念學習中深刻領會分類討論法的數學思想實質以及具體操作，由此促成學生方法的養成.

例如，一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的有關規定，對于這一點，教師在教學時不能硬性灌輸，而應該引導學生理解a=0和a≠0兩種情形下，方程有什么差別. 在此基礎上，再由學生說明關于x的一元二次方程kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0中系數k有何限制條件，然后對概念進行變式討論，即將“一元二次”這一條件刪掉，提問這是一個什么方程，如何進行求解. 學生深刻理解概念中的關鍵詞以及條件的變化情形之后，會有意識地把a=0和a≠0作為兩種不同情形進行分類討論.

在初中數學的日常教學過程中，這種目的性明確而且又循序漸進的滲透式教學，有助于學生對具體方法進行逐步體會，進而深刻領會其中所蘊含的分類討論思想，同時學生通過問題的變式對比還將深刻領悟分類討論的適用情境. 在教師的進一步引導和總結下，學生還將對分類的同一性、互斥性、層次性和相稱性等原則進行深層次地理解. 上述內容都是分類討論法的方法要點，凝聚著嚴謹而理性的數學思想，學生對其進行感悟，有助于訓練思維的條理性和目的性.

2. 在數學法則、定理、公式的應用中滲透分類討論法

初中數學的知識體系中不僅有大量的概念，還有很多法則、定理和公式等，相關知識的體系搭建就是循著分類討論、分類概括的思路進行構建的. 教師教學過程中要有意識地引導學生在深度理解中體會分類討論法的方法內涵.

例如，學生學習過七年級數學有關負數的知識之后，要對有理數進行類別劃分：將有理數分成負數、零、正數或將有理數分成分數和整數，教師要讓學生區分不同的類別劃分方式，從中體會分類討論法的關鍵性要求：不重復和不遺漏. 此外，分類還將出現這樣的情形：分類標準不一樣，則分類情形不同；采用分類討論法必須有明確的分類標準，而且必須采用正確的分類標準. 在學生對有理數的分類以及分類討論法有所認識之后，教師可繼續提問：-a一定是一個負數嗎？由于之前的方法引導，學生很快會意識到分類討論的必要性，即把a分成三類數字進行討論（正數、零和負數）. 又比如，學習絕對值的定義時，教師要有意識地對學生進行啟發，由此引導學生將有理數的分類方法進行認知遷移，幫助學生分類概括出a>0，a=0和a<0三種情形下絕對值的不同情形，并引導學生通過一些簡單的化簡題進行鞏固和強化. 比如，如何去掉x+4和x-4的絕對值符號. 通過問題的逐步分析以及解題思路的整理，學生會對分類討論法有一個深刻而系統化的認識.

在上述教學過程中，我們可以發現，只要教師注意發掘教材中的教學資源，就可以因勢利導地滲透分類討論法的教學. 當然，方法的教學應該具有延展性，例如學生對上述有理數分類的問題能夠形成深刻認識之后，教師應再引導他們對有理數加法法則進行探討，再一次將分類討論法滲透其中，這樣，學生的能力將獲得進一步提升. 由此可見，學生在學習數學知識的過程中，也能認識到相關問題為何要分類，以及如何進行分類，可謂一舉多得，極大地提高了課堂的效率.

3. 在數學解題練習中強化分類討論法教學

分類討論法也普遍存在于數學習題的處理過程中. 教師引導學生進行解題訓練時，務必提醒學生選用恰當的數學知識來解決問題，更要選用合適的數學方法. 正確的分析方法能讓問題的處理事半功倍. 同時，解題之余，學生還應有意識地對解題過程進行總結，對其中所采用的數學方法和思想進行進一步提煉，由此更深層次地領會方法的必要性以及具體的操作流程，相信通過這樣的操作，學生分類討論的意識和方法將獲得大幅提升.

（1）分類討論法在函數問題中的應用

函數是初中數學的主要難點之一，難在何處？筆者認為解題方法較為隱蔽就是原因之一，靈活地選用方法，可以讓問題更為簡便地被解決，而分類討論法就是使用較為頻繁的一種.

例1？搖 已知函數y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個交點，求a的數值以及函數與x軸的交點坐標.

分析？搖 本題所對應的函數到底是怎樣一種類型的函數，題中并沒有給出一個確定的條件，因此，處理過程中必須根據a取值的不同情形進行分類討論.

解答 ？搖當a=0時，該函數為一次函數y=3x+1，此時函數與x軸只有一個交點，且交點坐標為-，0；

當a≠0時，該函數為二次函數，因為它與x軸只有一個交點，所以Δ=0，即Δ=（3-a）2-4a=a2-10a+9=0，解得a=1或a=9. 對應的函數與x軸的交點坐標分別為（-1，0）或，0.

（2）分類討論法在不等式問題中的應用

不等式兩邊同時乘或除以某個數時，不等號的方向可能會發生改變，具體情況如何，必須進行分類討論.

例2？搖 解不等式：（k-1）x>k2-1.

分析？搖 如果不對上述不等式進行區分，盲目地在兩邊同時約掉（k-1），將不等式寫成x>k+1，肯定是錯誤的. 該問題必須根據不等式的性質分成三種情形進行討論，從而針對不同的情況進行求解.

解答？搖 當k-1<0，即k<1時，原不等式可化為x

當k-1=0，即k=1時，原不等式為0·x>0，不等式無解；

當k-1>0，即k>1時，原不等式可化為x>k+1.

綜上所述，當k<1時，原不等式的解為x1時，原不等式的解為x>k+1.

（3）分類討論法在方程求解中的應用

將絕對值符號引入方程，會給方程帶來很多不確定的因素，而這些也正是分類討論法的用武之地.

例3？搖 解方程：4x-4-2x+2=14.

分析？搖 此題的難點是絕對值符號能否直接擦掉. 這一問題涉及絕對值符號內是正數還是負數，這里需用到分類討論法.

解答？搖 當x≥1時，原方程可以化簡為（4x-4）-（2x+2）=14，可以直接解出x=10；

當-1

當x≤-1時，原方程可以化簡為4-4x+2x+2=14，可以直接解出x=-4.

綜上所述，原方程的解為x=10或x=-4.

“過程與方法”是三維教學目標體系的重要組成部分，初中數學課堂上，我們不僅要讓學生通過對過程的體驗熟悉分類討論法的應用，還要引導學生對方法進行總結和思考，由此促成該維度目標的實現.