分類討論法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

范莉

[摘 要] 分類討論法是初中數(shù)學(xué)中一種重要且實(shí)用的問題分析方法，其中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想價(jià)值. 本文從分類討論法的概念和實(shí)質(zhì)出發(fā)，結(jié)合初中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，從數(shù)學(xué)概念教學(xué)、數(shù)學(xué)法則（公式、公理）應(yīng)用、數(shù)學(xué)解題練習(xí)三個(gè)方面對分類討論法的滲透式教學(xué)進(jìn)行了深入地探討.

[關(guān)鍵詞] 分類討論法；初中數(shù)學(xué)；滲透式教學(xué)

分類討論法在初中數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位，實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)該如何向?qū)W生進(jìn)行滲透呢？對此，筆者有以下思考.

分類討論法的概念及其實(shí)質(zhì)

分類討論法是一種非常重要的數(shù)學(xué)問題分析方法，是一種常用的解題策略，也是一種數(shù)學(xué)思想，其概念可以這樣闡述：根據(jù)研究對象的情境差異，將其分成不同類型的情況，進(jìn)而給予針對性分析及解決的策略和方法.

分類討論法是當(dāng)前中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考核的內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是一種將復(fù)雜問題先化整為零，再逐個(gè)分析處理之后形成結(jié)論的數(shù)學(xué)思維方法，它從數(shù)學(xué)問題之間的本質(zhì)聯(lián)系出發(fā)，有助于學(xué)生邏輯思維和歸納總結(jié)等能力的培養(yǎng).

此分析方法的運(yùn)用先要對問題形成一個(gè)宏觀性的認(rèn)識(shí)，然后確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而搭建分類框架，由此分門別類地進(jìn)行不遺漏、不重復(fù)的研究分析，直至問題全方位地解決. 分類討論法運(yùn)用的關(guān)鍵是嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)地進(jìn)行分類，并確保不出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的分類情形.

分類討論法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)

踐中的滲透

作為初中數(shù)學(xué)體系中最為基礎(chǔ)、最為重要的一項(xiàng)研究方法，我們要將它廣泛地滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域.

1. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中滲透分類討論法

雖然分類討論法非常重要，但是初中生的分類討論意識(shí)卻不強(qiáng)，最明顯的表現(xiàn)就是他們不知道哪些問題的處理需要分類處理，也不知道如何進(jìn)行正確而合理的分類. 這就需要教師在教學(xué)過程中有效挖掘教材，積極創(chuàng)設(shè)情境，積極進(jìn)行強(qiáng)化，并對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)和誘導(dǎo)，以此揭示分類討論法的本質(zhì)，幫助學(xué)生自覺形成采用分類討論法的意識(shí).

在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，很多數(shù)學(xué)概念的定義都滲透著分類討論的思想，例如實(shí)數(shù)與有理數(shù)的分類、絕對值化簡處理、一元二次方程根的判別式、直線與圓的位置關(guān)系等. 上述涉及分類討論法的問題，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確而科學(xué)地進(jìn)行分析，從而讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中深刻領(lǐng)會(huì)分類討論法的數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)以及具體操作，由此促成學(xué)生方法的養(yǎng)成.

例如，一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的有關(guān)規(guī)定，對于這一點(diǎn)，教師在教學(xué)時(shí)不能硬性灌輸，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生理解a=0和a≠0兩種情形下，方程有什么差別. 在此基礎(chǔ)上，再由學(xué)生說明關(guān)于x的一元二次方程kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0中系數(shù)k有何限制條件，然后對概念進(jìn)行變式討論，即將“一元二次”這一條件刪掉，提問這是一個(gè)什么方程，如何進(jìn)行求解. 學(xué)生深刻理解概念中的關(guān)鍵詞以及條件的變化情形之后，會(huì)有意識(shí)地把a(bǔ)=0和a≠0作為兩種不同情形進(jìn)行分類討論.

在初中數(shù)學(xué)的日常教學(xué)過程中，這種目的性明確而且又循序漸進(jìn)的滲透式教學(xué)，有助于學(xué)生對具體方法進(jìn)行逐步體會(huì)，進(jìn)而深刻領(lǐng)會(huì)其中所蘊(yùn)含的分類討論思想，同時(shí)學(xué)生通過問題的變式對比還將深刻領(lǐng)悟分類討論的適用情境. 在教師的進(jìn)一步引導(dǎo)和總結(jié)下，學(xué)生還將對分類的同一性、互斥性、層次性和相稱性等原則進(jìn)行深層次地理解. 上述內(nèi)容都是分類討論法的方法要點(diǎn)，凝聚著嚴(yán)謹(jǐn)而理性的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生對其進(jìn)行感悟，有助于訓(xùn)練思維的條理性和目的性.

2. 在數(shù)學(xué)法則、定理、公式的應(yīng)用中滲透分類討論法

初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中不僅有大量的概念，還有很多法則、定理和公式等，相關(guān)知識(shí)的體系搭建就是循著分類討論、分類概括的思路進(jìn)行構(gòu)建的. 教師教學(xué)過程中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在深度理解中體會(huì)分類討論法的方法內(nèi)涵.

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)過七年級數(shù)學(xué)有關(guān)負(fù)數(shù)的知識(shí)之后，要對有理數(shù)進(jìn)行類別劃分：將有理數(shù)分成負(fù)數(shù)、零、正數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分成分?jǐn)?shù)和整數(shù)，教師要讓學(xué)生區(qū)分不同的類別劃分方式，從中體會(huì)分類討論法的關(guān)鍵性要求：不重復(fù)和不遺漏. 此外，分類還將出現(xiàn)這樣的情形：分類標(biāo)準(zhǔn)不一樣，則分類情形不同；采用分類討論法必須有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)，而且必須采用正確的分類標(biāo)準(zhǔn). 在學(xué)生對有理數(shù)的分類以及分類討論法有所認(rèn)識(shí)之后，教師可繼續(xù)提問：-a一定是一個(gè)負(fù)數(shù)嗎？由于之前的方法引導(dǎo)，學(xué)生很快會(huì)意識(shí)到分類討論的必要性，即把a(bǔ)分成三類數(shù)字進(jìn)行討論（正數(shù)、零和負(fù)數(shù)）. 又比如，學(xué)習(xí)絕對值的定義時(shí)，教師要有意識(shí)地對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，由此引導(dǎo)學(xué)生將有理數(shù)的分類方法進(jìn)行認(rèn)知遷移，幫助學(xué)生分類概括出a>0，a=0和a<0三種情形下絕對值的不同情形，并引導(dǎo)學(xué)生通過一些簡單的化簡題進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化. 比如，如何去掉x+4和x-4的絕對值符號. 通過問題的逐步分析以及解題思路的整理，學(xué)生會(huì)對分類討論法有一個(gè)深刻而系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí).

在上述教學(xué)過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，只要教師注意發(fā)掘教材中的教學(xué)資源，就可以因勢利導(dǎo)地滲透分類討論法的教學(xué). 當(dāng)然，方法的教學(xué)應(yīng)該具有延展性，例如學(xué)生對上述有理數(shù)分類的問題能夠形成深刻認(rèn)識(shí)之后，教師應(yīng)再引導(dǎo)他們對有理數(shù)加法法則進(jìn)行探討，再一次將分類討論法滲透其中，這樣，學(xué)生的能力將獲得進(jìn)一步提升. 由此可見，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，也能認(rèn)識(shí)到相關(guān)問題為何要分類，以及如何進(jìn)行分類，可謂一舉多得，極大地提高了課堂的效率.

3. 在數(shù)學(xué)解題練習(xí)中強(qiáng)化分類討論法教學(xué)

分類討論法也普遍存在于數(shù)學(xué)習(xí)題的處理過程中. 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練時(shí)，務(wù)必提醒學(xué)生選用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，更要選用合適的數(shù)學(xué)方法. 正確的分析方法能讓問題的處理事半功倍. 同時(shí)，解題之余，學(xué)生還應(yīng)有意識(shí)地對解題過程進(jìn)行總結(jié)，對其中所采用的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行進(jìn)一步提煉，由此更深層次地領(lǐng)會(huì)方法的必要性以及具體的操作流程，相信通過這樣的操作，學(xué)生分類討論的意識(shí)和方法將獲得大幅提升.

（1）分類討論法在函數(shù)問題中的應(yīng)用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的主要難點(diǎn)之一，難在何處？筆者認(rèn)為解題方法較為隱蔽就是原因之一，靈活地選用方法，可以讓問題更為簡便地被解決，而分類討論法就是使用較為頻繁的一種.

例1？搖 已知函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的數(shù)值以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

分析？搖 本題所對應(yīng)的函數(shù)到底是怎樣一種類型的函數(shù)，題中并沒有給出一個(gè)確定的條件，因此，處理過程中必須根據(jù)a取值的不同情形進(jìn)行分類討論.

解答 ？搖當(dāng)a=0時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)y=3x+1，此時(shí)函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)為-，0；

當(dāng)a≠0時(shí)，該函數(shù)為二次函數(shù)，因?yàn)樗cx軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以Δ=0，即Δ=（3-a）2-4a=a2-10a+9=0，解得a=1或a=9. 對應(yīng)的函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0）或，0.

（2）分類討論法在不等式問題中的應(yīng)用

不等式兩邊同時(shí)乘或除以某個(gè)數(shù)時(shí)，不等號的方向可能會(huì)發(fā)生改變，具體情況如何，必須進(jìn)行分類討論.

例2？搖 解不等式：（k-1）x>k2-1.

分析？搖 如果不對上述不等式進(jìn)行區(qū)分，盲目地在兩邊同時(shí)約掉（k-1），將不等式寫成x>k+1，肯定是錯(cuò)誤的. 該問題必須根據(jù)不等式的性質(zhì)分成三種情形進(jìn)行討論，從而針對不同的情況進(jìn)行求解.

解答？搖 當(dāng)k-1<0，即k<1時(shí)，原不等式可化為x

當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，原不等式為0·x>0，不等式無解；

當(dāng)k-1>0，即k>1時(shí)，原不等式可化為x>k+1.

綜上所述，當(dāng)k<1時(shí)，原不等式的解為x1時(shí)，原不等式的解為x>k+1.

（3）分類討論法在方程求解中的應(yīng)用

將絕對值符號引入方程，會(huì)給方程帶來很多不確定的因素，而這些也正是分類討論法的用武之地.

例3？搖 解方程：4x-4-2x+2=14.

分析？搖 此題的難點(diǎn)是絕對值符號能否直接擦掉. 這一問題涉及絕對值符號內(nèi)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，這里需用到分類討論法.

解答？搖 當(dāng)x≥1時(shí)，原方程可以化簡為（4x-4）-（2x+2）=14，可以直接解出x=10；

當(dāng)-1

當(dāng)x≤-1時(shí)，原方程可以化簡為4-4x+2x+2=14，可以直接解出x=-4.

綜上所述，原方程的解為x=10或x=-4.

“過程與方法”是三維教學(xué)目標(biāo)體系的重要組成部分，初中數(shù)學(xué)課堂上，我們不僅要讓學(xué)生通過對過程的體驗(yàn)熟悉分類討論法的應(yīng)用，還要引導(dǎo)學(xué)生對方法進(jìn)行總結(jié)和思考，由此促成該維度目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).