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分類討論法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

2017-03-24 12:55:12范莉
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué)

范莉

[摘 要] 分類討論法是初中數(shù)學(xué)中一種重要且實(shí)用的問題分析方法,其中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想價(jià)值. 本文從分類討論法的概念和實(shí)質(zhì)出發(fā),結(jié)合初中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐,從數(shù)學(xué)概念教學(xué)、數(shù)學(xué)法則(公式、公理)應(yīng)用、數(shù)學(xué)解題練習(xí)三個(gè)方面對分類討論法的滲透式教學(xué)進(jìn)行了深入地探討.

[關(guān)鍵詞] 分類討論法;初中數(shù)學(xué);滲透式教學(xué)

分類討論法在初中數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位,實(shí)際教學(xué)中,我們應(yīng)該如何向?qū)W生進(jìn)行滲透呢?對此,筆者有以下思考.

分類討論法的概念及其實(shí)質(zhì)

分類討論法是一種非常重要的數(shù)學(xué)問題分析方法,是一種常用的解題策略,也是一種數(shù)學(xué)思想,其概念可以這樣闡述:根據(jù)研究對象的情境差異,將其分成不同類型的情況,進(jìn)而給予針對性分析及解決的策略和方法.

分類討論法是當(dāng)前中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考核的內(nèi)容,其實(shí)質(zhì)是一種將復(fù)雜問題先化整為零,再逐個(gè)分析處理之后形成結(jié)論的數(shù)學(xué)思維方法,它從數(shù)學(xué)問題之間的本質(zhì)聯(lián)系出發(fā),有助于學(xué)生邏輯思維和歸納總結(jié)等能力的培養(yǎng).

此分析方法的運(yùn)用先要對問題形成一個(gè)宏觀性的認(rèn)識(shí),然后確定分類標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)而搭建分類框架,由此分門別類地進(jìn)行不遺漏、不重復(fù)的研究分析,直至問題全方位地解決. 分類討論法運(yùn)用的關(guān)鍵是嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)地進(jìn)行分類,并確保不出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的分類情形.

分類討論法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)

踐中的滲透

作為初中數(shù)學(xué)體系中最為基礎(chǔ)、最為重要的一項(xiàng)研究方法,我們要將它廣泛地滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域.

1. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中滲透分類討論法

雖然分類討論法非常重要,但是初中生的分類討論意識(shí)卻不強(qiáng),最明顯的表現(xiàn)就是他們不知道哪些問題的處理需要分類處理,也不知道如何進(jìn)行正確而合理的分類. 這就需要教師在教學(xué)過程中有效挖掘教材,積極創(chuàng)設(shè)情境,積極進(jìn)行強(qiáng)化,并對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)和誘導(dǎo),以此揭示分類討論法的本質(zhì),幫助學(xué)生自覺形成采用分類討論法的意識(shí).

在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中,很多數(shù)學(xué)概念的定義都滲透著分類討論的思想,例如實(shí)數(shù)與有理數(shù)的分類、絕對值化簡處理、一元二次方程根的判別式、直線與圓的位置關(guān)系等. 上述涉及分類討論法的問題,教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確而科學(xué)地進(jìn)行分析,從而讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中深刻領(lǐng)會(huì)分類討論法的數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)以及具體操作,由此促成學(xué)生方法的養(yǎng)成.

例如,一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中涉及a≠0的有關(guān)規(guī)定,對于這一點(diǎn),教師在教學(xué)時(shí)不能硬性灌輸,而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生理解a=0和a≠0兩種情形下,方程有什么差別. 在此基礎(chǔ)上,再由學(xué)生說明關(guān)于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-2(3k-1)=0中系數(shù)k有何限制條件,然后對概念進(jìn)行變式討論,即將“一元二次”這一條件刪掉,提問這是一個(gè)什么方程,如何進(jìn)行求解. 學(xué)生深刻理解概念中的關(guān)鍵詞以及條件的變化情形之后,會(huì)有意識(shí)地把a(bǔ)=0和a≠0作為兩種不同情形進(jìn)行分類討論.

在初中數(shù)學(xué)的日常教學(xué)過程中,這種目的性明確而且又循序漸進(jìn)的滲透式教學(xué),有助于學(xué)生對具體方法進(jìn)行逐步體會(huì),進(jìn)而深刻領(lǐng)會(huì)其中所蘊(yùn)含的分類討論思想,同時(shí)學(xué)生通過問題的變式對比還將深刻領(lǐng)悟分類討論的適用情境. 在教師的進(jìn)一步引導(dǎo)和總結(jié)下,學(xué)生還將對分類的同一性、互斥性、層次性和相稱性等原則進(jìn)行深層次地理解. 上述內(nèi)容都是分類討論法的方法要點(diǎn),凝聚著嚴(yán)謹(jǐn)而理性的數(shù)學(xué)思想,學(xué)生對其進(jìn)行感悟,有助于訓(xùn)練思維的條理性和目的性.

2. 在數(shù)學(xué)法則、定理、公式的應(yīng)用中滲透分類討論法

初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中不僅有大量的概念,還有很多法則、定理和公式等,相關(guān)知識(shí)的體系搭建就是循著分類討論、分類概括的思路進(jìn)行構(gòu)建的. 教師教學(xué)過程中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在深度理解中體會(huì)分類討論法的方法內(nèi)涵.

例如,學(xué)生學(xué)習(xí)過七年級數(shù)學(xué)有關(guān)負(fù)數(shù)的知識(shí)之后,要對有理數(shù)進(jìn)行類別劃分:將有理數(shù)分成負(fù)數(shù)、零、正數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分成分?jǐn)?shù)和整數(shù),教師要讓學(xué)生區(qū)分不同的類別劃分方式,從中體會(huì)分類討論法的關(guān)鍵性要求:不重復(fù)和不遺漏. 此外,分類還將出現(xiàn)這樣的情形:分類標(biāo)準(zhǔn)不一樣,則分類情形不同;采用分類討論法必須有明確的分類標(biāo)準(zhǔn),而且必須采用正確的分類標(biāo)準(zhǔn). 在學(xué)生對有理數(shù)的分類以及分類討論法有所認(rèn)識(shí)之后,教師可繼續(xù)提問:-a一定是一個(gè)負(fù)數(shù)嗎?由于之前的方法引導(dǎo),學(xué)生很快會(huì)意識(shí)到分類討論的必要性,即把a(bǔ)分成三類數(shù)字進(jìn)行討論(正數(shù)、零和負(fù)數(shù)). 又比如,學(xué)習(xí)絕對值的定義時(shí),教師要有意識(shí)地對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā),由此引導(dǎo)學(xué)生將有理數(shù)的分類方法進(jìn)行認(rèn)知遷移,幫助學(xué)生分類概括出a>0,a=0和a<0三種情形下絕對值的不同情形,并引導(dǎo)學(xué)生通過一些簡單的化簡題進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化. 比如,如何去掉x+4和x-4的絕對值符號. 通過問題的逐步分析以及解題思路的整理,學(xué)生會(huì)對分類討論法有一個(gè)深刻而系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí).

在上述教學(xué)過程中,我們可以發(fā)現(xiàn),只要教師注意發(fā)掘教材中的教學(xué)資源,就可以因勢利導(dǎo)地滲透分類討論法的教學(xué). 當(dāng)然,方法的教學(xué)應(yīng)該具有延展性,例如學(xué)生對上述有理數(shù)分類的問題能夠形成深刻認(rèn)識(shí)之后,教師應(yīng)再引導(dǎo)他們對有理數(shù)加法法則進(jìn)行探討,再一次將分類討論法滲透其中,這樣,學(xué)生的能力將獲得進(jìn)一步提升. 由此可見,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中,也能認(rèn)識(shí)到相關(guān)問題為何要分類,以及如何進(jìn)行分類,可謂一舉多得,極大地提高了課堂的效率.

3. 在數(shù)學(xué)解題練習(xí)中強(qiáng)化分類討論法教學(xué)

分類討論法也普遍存在于數(shù)學(xué)習(xí)題的處理過程中. 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練時(shí),務(wù)必提醒學(xué)生選用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)來解決問題,更要選用合適的數(shù)學(xué)方法. 正確的分析方法能讓問題的處理事半功倍. 同時(shí),解題之余,學(xué)生還應(yīng)有意識(shí)地對解題過程進(jìn)行總結(jié),對其中所采用的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行進(jìn)一步提煉,由此更深層次地領(lǐng)會(huì)方法的必要性以及具體的操作流程,相信通過這樣的操作,學(xué)生分類討論的意識(shí)和方法將獲得大幅提升.

(1)分類討論法在函數(shù)問題中的應(yīng)用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的主要難點(diǎn)之一,難在何處?筆者認(rèn)為解題方法較為隱蔽就是原因之一,靈活地選用方法,可以讓問題更為簡便地被解決,而分類討論法就是使用較為頻繁的一種.

例1?搖 已知函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求a的數(shù)值以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

分析?搖 本題所對應(yīng)的函數(shù)到底是怎樣一種類型的函數(shù),題中并沒有給出一個(gè)確定的條件,因此,處理過程中必須根據(jù)a取值的不同情形進(jìn)行分類討論.

解答 ?搖當(dāng)a=0時(shí),該函數(shù)為一次函數(shù)y=3x+1,此時(shí)函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)坐標(biāo)為-,0;

當(dāng)a≠0時(shí),該函數(shù)為二次函數(shù),因?yàn)樗cx軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以Δ=0,即Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9. 對應(yīng)的函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)或,0.

(2)分類討論法在不等式問題中的應(yīng)用

不等式兩邊同時(shí)乘或除以某個(gè)數(shù)時(shí),不等號的方向可能會(huì)發(fā)生改變,具體情況如何,必須進(jìn)行分類討論.

例2?搖 解不等式:(k-1)x>k2-1.

分析?搖 如果不對上述不等式進(jìn)行區(qū)分,盲目地在兩邊同時(shí)約掉(k-1),將不等式寫成x>k+1,肯定是錯(cuò)誤的. 該問題必須根據(jù)不等式的性質(zhì)分成三種情形進(jìn)行討論,從而針對不同的情況進(jìn)行求解.

解答?搖 當(dāng)k-1<0,即k<1時(shí),原不等式可化為x

當(dāng)k-1=0,即k=1時(shí),原不等式為0·x>0,不等式無解;

當(dāng)k-1>0,即k>1時(shí),原不等式可化為x>k+1.

綜上所述,當(dāng)k<1時(shí),原不等式的解為x1時(shí),原不等式的解為x>k+1.

(3)分類討論法在方程求解中的應(yīng)用

將絕對值符號引入方程,會(huì)給方程帶來很多不確定的因素,而這些也正是分類討論法的用武之地.

例3?搖 解方程:4x-4-2x+2=14.

分析?搖 此題的難點(diǎn)是絕對值符號能否直接擦掉. 這一問題涉及絕對值符號內(nèi)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),這里需用到分類討論法.

解答?搖 當(dāng)x≥1時(shí),原方程可以化簡為(4x-4)-(2x+2)=14,可以直接解出x=10;

當(dāng)-1

當(dāng)x≤-1時(shí),原方程可以化簡為4-4x+2x+2=14,可以直接解出x=-4.

綜上所述,原方程的解為x=10或x=-4.

“過程與方法”是三維教學(xué)目標(biāo)體系的重要組成部分,初中數(shù)學(xué)課堂上,我們不僅要讓學(xué)生通過對過程的體驗(yàn)熟悉分類討論法的應(yīng)用,還要引導(dǎo)學(xué)生對方法進(jìn)行總結(jié)和思考,由此促成該維度目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).

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