學(xué)需變，變則通

盧燕

[摘 要] 從數(shù)學(xué)學(xué)科靈活多變的特征出發(fā)，我們提出了變式教學(xué)理論. 作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)階段，這一理論的運(yùn)用對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效的提升起到了顯著的推動(dòng)作用. 為了對(duì)變式教學(xué)的開(kāi)展方法進(jìn)行系統(tǒng)研究，筆者整合相關(guān)理論與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從四個(gè)角度對(duì)具體方法的適用進(jìn)行了詳細(xì)闡述，希望能夠拋磚引玉，啟發(fā)廣大教師.

[關(guān)鍵詞] 初中；數(shù)學(xué)；變式教學(xué)

在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，教師常常告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)是一門(mén)運(yùn)動(dòng)的學(xué)問(wèn). 之所以這樣講，是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，存在著太多發(fā)生變化的空間與可能. 這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最困難的地方，同時(shí)，也是最有趣的地方. 特別是對(duì)于初中階段的學(xué)生來(lái)講，要去適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的變化性特征，并在這種特征當(dāng)中游刃有余，讓學(xué)習(xí)效果上升到新的高度，難度顯然是比較大的. 為了能夠讓初中生有效順應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的變化狀態(tài)，教師需要將這種意識(shí)滲透到平時(shí)的課堂教學(xué)中，潛移默化，潤(rùn)于無(wú)形.

一個(gè)問(wèn)題多種解答，實(shí)現(xiàn)觸類(lèi)

旁通

談到數(shù)學(xué)當(dāng)中的題目變式，最先想到的應(yīng)該就是一題多解了. 為同一個(gè)問(wèn)題尋找多種解答方法，也是很多數(shù)學(xué)試題的設(shè)計(jì)方式. 提出這樣的要求，是為了讓學(xué)生的思維不要被限制在同一個(gè)方向上. 教師可通過(guò)采用不同思路分析問(wèn)題，將多種知識(shí)內(nèi)涵的數(shù)學(xué)思維調(diào)動(dòng)起來(lái)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觸類(lèi)旁通.

例如，在對(duì)全等三角形的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者向?qū)W生提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：小明在紙上畫(huà)了一個(gè)等腰三角形，不小心打翻了墨水，把三角形弄臟了（如圖1所示），只剩下三角形的一條底邊和一個(gè)底角能看清楚. 那么，怎樣才能將這個(gè)三角形復(fù)原呢？這個(gè)問(wèn)題的解答方法不唯一，筆者將學(xué)生分組，請(qǐng)大家通過(guò)討論盡可能多地找出方法. 在熱烈的溝通交流之下，學(xué)生先后找到了三種方式：一是用量角器確定∠C的大小，由此畫(huà)出與之同等大小的∠B，最后根據(jù)兩個(gè)角的邊相交找出∠A，進(jìn)而確定原三角形. 二是作出底邊BC的垂直平分線，通過(guò)該線與∠C的另一邊相交，找到點(diǎn)A. 三是將現(xiàn)有圖形對(duì)折，得出∠C的對(duì)稱(chēng)邊，進(jìn)而將三角形的兩個(gè)腰分別延長(zhǎng)得到交點(diǎn)，找到點(diǎn)A. 雖然是基于全等三角形知識(shí)設(shè)計(jì)問(wèn)題，但多維的解題視角將與之相關(guān)的思路方法都聯(lián)系起來(lái)了，實(shí)現(xiàn)了綜合性的訓(xùn)練.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生都容易出現(xiàn)惰性思想，認(rèn)為只要能把題目解答出來(lái)就行了，懶得再去多想其他的解答方法. 其實(shí)，只要大家能夠戰(zhàn)勝心中的惰性，勤于思考，便會(huì)發(fā)現(xiàn)，一題多解并不是一件多么困難的事. 通過(guò)一道題目的解答，實(shí)現(xiàn)多種知識(shí)方法的協(xié)同強(qiáng)化，可謂一舉多得.

一個(gè)問(wèn)題多種變化，實(shí)現(xiàn)橫向

聯(lián)想

除了從數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答方式上進(jìn)行靈活之外，我們還可以轉(zhuǎn)換視角，將數(shù)學(xué)問(wèn)題本身作為變化的主體，通過(guò)變化問(wèn)題來(lái)靈動(dòng)學(xué)生的思維. 這也就是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中經(jīng)常提到的“一題多變”.

例如，在對(duì)平面幾何知識(shí)進(jìn)行綜合復(fù)習(xí)時(shí)，筆者先向?qū)W生展示了這樣一道習(xí)題：如圖2所示，在△ABC中，BC邊的長(zhǎng)是120，高AD的長(zhǎng)是80. 若要將這個(gè)三角形剪成一個(gè)正方形，且其中一條邊在BC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AC和AB上，則該正方形的邊長(zhǎng)是多少？隨后，將問(wèn)題變式為：若將圖2中的“正方形PQMN”變?yōu)椤熬匦蜳QMN”，若要使得矩形的面積達(dá)到最大，應(yīng)當(dāng)如何確定長(zhǎng)與寬？再繼續(xù)靈活變化為：現(xiàn)有一張直角三角形硬紙板，記為△ABC，其中一條直角邊AB的長(zhǎng)是1.5，三角形的面積是1.5. 若要將其剪成一個(gè)正方形，并盡可能讓這個(gè)正方形的面積達(dá)到最大，小明和小麗分別提出了圖3和圖4所示的兩種剪裁方案. 你認(rèn)為，哪一種方法更好呢？簡(jiǎn)單的問(wèn)題變化便實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于橫向知識(shí)鏈的統(tǒng)籌思考.

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本身進(jìn)行變化，是從橫向出發(fā)進(jìn)行變式教學(xué)處理. 變化的動(dòng)作并沒(méi)有改變問(wèn)題所考查的知識(shí)方法本質(zhì)，而是通過(guò)靈活變化提問(wèn)途徑，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷走向深入. 這對(duì)于鞏固、深化某個(gè)知識(shí)內(nèi)容來(lái)講十分有效.

一個(gè)問(wèn)題多方引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)情境

創(chuàng)設(shè)

對(duì)于一些復(fù)雜程度高、理解難度大的知識(shí)內(nèi)容來(lái)講，僅靠一次性的問(wèn)題引導(dǎo)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 為了能夠讓學(xué)生逐步接納知識(shí)本質(zhì)，并有節(jié)奏地深入到知識(shí)核心，就需要分層次地進(jìn)行設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生的思維在潛移默化中走進(jìn)知識(shí)之中. 這個(gè)分層設(shè)問(wèn)引導(dǎo)的過(guò)程，實(shí)際上也是變式教學(xué)的一個(gè)重要表現(xiàn).

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效引導(dǎo)，有序且巧妙的提問(wèn)無(wú)疑是一條教學(xué)捷徑. 而想要更好地激發(fā)出學(xué)生的自主思考熱情，通過(guò)一個(gè)個(gè)問(wèn)題串，在課堂上形成一種問(wèn)題情境，更是教師們應(yīng)當(dāng)選擇的. 在層層深入的變式問(wèn)題輔助下，學(xué)生在深厚的問(wèn)題情境中會(huì)感受到真實(shí)靈動(dòng)的數(shù)學(xué).

多個(gè)問(wèn)題同一解答，實(shí)現(xiàn)異中

求同

前面幾個(gè)方面的論述，整體上都是按照由問(wèn)題到解答的邏輯順序進(jìn)行思考的. 在此基礎(chǔ)上，我們還可以從反方向繼續(xù)對(duì)變式教學(xué)進(jìn)行拓展設(shè)計(jì)，由題目解答方法指向題目條件設(shè)計(jì)，帶領(lǐng)學(xué)生從不同的提問(wèn)中找到相同的規(guī)律.

例如，為了訓(xùn)練學(xué)生從幾何問(wèn)題中尋找解題規(guī)律的能力，筆者從同一種分析方法出發(fā)，設(shè)計(jì)出了多個(gè)變式問(wèn)題：（1）如圖8所示，欲將一個(gè)銳角三角形紙片裁剪成一個(gè)長(zhǎng)、寬之比為2 ∶ 1的矩形，若矩形的長(zhǎng)邊在三角形的BC邊上，其他兩個(gè)頂點(diǎn)在AB和AC邊上，且BC邊的長(zhǎng)為80，高AD的長(zhǎng)為60，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬分別是多少？（2）如圖9所示，欲將一個(gè)直角三角形紙片裁剪成一個(gè)矩形，若矩形的一條邊SR在三角形的BC邊上，其他兩個(gè)頂點(diǎn)在AB和AC邊上，且∠BAC是直角，則PS，BS，CR之間的關(guān)系如何？（3）如圖10所示，欲將一個(gè)銳角三角形紙片裁剪成一個(gè)矩形，若矩形的一條邊在三角形的BC邊上，其他兩個(gè)頂點(diǎn)在AB和AC邊上，且BC邊的長(zhǎng)是80，高AD的長(zhǎng)是60，則這個(gè)矩形能夠取得的最大面積是多少？這種從三角形中裁剪出四邊形是一種很典型的提問(wèn)形式，富有變式的設(shè)問(wèn)能夠很好地促進(jìn)學(xué)生找到規(guī)律方法.

在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，為同一種解題方法匹配多種不同的問(wèn)題設(shè)計(jì)，是很多教師容易忽略的教學(xué)思路. 這種逆向思維的適用，能為學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)拓寬視野，且能以這種方式向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這種不變的知識(shí)方法實(shí)質(zhì)，幫助大家從鞏固之中實(shí)現(xiàn)升華.

為了引領(lǐng)學(xué)生的思維不斷運(yùn)動(dòng)變化，并讓大家能夠清晰地感知數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性特點(diǎn)，變式教學(xué)的開(kāi)展可謂勢(shì)在必行. 為了將初中數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中的變化特點(diǎn)全面展現(xiàn)，教師需要對(duì)知識(shí)方法的變化途徑進(jìn)行全方位分析，并將之在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出來(lái). 通過(guò)從正反雙向?qū)ψ兪浇虒W(xué)的內(nèi)涵進(jìn)行探究，筆者從前文當(dāng)中所描述的幾個(gè)角度入手，對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行了啟發(fā)拓展，收獲了十分理想的教學(xué)效果. 相信在這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)之下，學(xué)生們必然能夠?qū)崿F(xiàn)“在學(xué)習(xí)中變化，在變化中提升”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.