概念活用思路寬廣

文︳申娜

概念活用思路寬廣

文︳申娜

李邦河院士在《數(shù)的概念的發(fā)展》報(bào)告中指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”細(xì)細(xì)體會(huì)這話，運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還真是那么回事。

例如，推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，我們通常是求出方程的兩個(gè)根，再算兩根之和與之積。如果用方程根的概念，則另有一番風(fēng)光。

設(shè)x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的兩根，則

ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0。

兩方程相減并分解因式，得（x1-x2）[a（x1+x2）+b] =0。

若x1=x2，則b2-4ac=0，b2=4ac，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

若x1≠x2，則a（x1+x2）+b=0，

將兩方程相加并配方，得[a（x1+x2）2-2x1x2]+ b（x1+x2）+c=0，將代入并化簡(jiǎn)，得x1x2=

雖然上述過程并不比用求根公式計(jì)算簡(jiǎn)便，但也打開了思維的另一扇窗，使我們思考問題的路子更寬廣。

許多數(shù)學(xué)概念中就有數(shù)學(xué)表達(dá)式，如橢圓、雙曲線的定義，本身就是用數(shù)學(xué)式子敘述的。在思考問題時(shí)，很多題目就可靈活運(yùn)用定義求解。

如，設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，又有一定點(diǎn)M（6，4），求|PM|+|PF1|的最大值。

很容易想到設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），或者設(shè)P（5cosθ， 4sinθ）代入橢圓方程，得到一個(gè)等式，然后又代入|PM|+|PF1|中，求函數(shù)的最大值。這樣做思路易得，求解卻難。如果利用橢圓定義的表達(dá)式，則會(huì)顯得簡(jiǎn)便。

易求得F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），依據(jù)橢圓定義，有|PF1|+|PF2|=10，則|PF1|=10-|PF2|。

于是，|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=

當(dāng)|PM|-|PF2|=|MF2|時(shí)，取得最大值15。那么，取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？從圖形上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P是線段MF2的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，才能滿足|PM|-|PF2|=|MF2|。直線MF2的方程是與橢圓方程聯(lián)立，解得P（0，-4）或顯然，點(diǎn)P（0，-4）滿足條件。

橢圓、雙曲線定義中，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和或差是定值。那么，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離商如果是定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么呢？

設(shè)動(dòng)點(diǎn)是P（x，y），兩定點(diǎn)分別是F1（-a，0），F(xiàn)2（a，0），a＞0，且，λ＞0，且λ≠1。那么，，化簡(jiǎn)，得

（1-λ2）x2+（2a+2aλ2）x+（1-λ2）y2+（a2-a2λ2）=0。

由于λ≠1，則1-λ2≠0，那么上式表示的是圓的方程，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡是圓。這個(gè)圓叫阿波尼斯圓。運(yùn)用阿波尼斯圓可以簡(jiǎn)解下面兩道高考數(shù)學(xué)題。1.（2008年江蘇）滿足條件的△ABC面積的最大值是_________。

2.（2014年湖北）已知圓x2+y2=1和點(diǎn)A（-2，0），若定點(diǎn)B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則b=_______，λ=________。

第1題中，設(shè)A（-1，0），B（1，0），C（x，y），則λ=。由上面的阿波尼斯圓的方程，得點(diǎn)C的軌跡是：（x-3）2+y2=8（除去點(diǎn)（，0））。由于|AB|=2是定值，要使△ABC的面積最大，只要點(diǎn)C到AB的距離最大即可。顯然，最大距離是圓的半徑，因此，最大面積是

第2題中，設(shè)M（x0，y0），由|MB|=λ|MA|，得

（作者單位：邵東縣第一中學(xué)）