例談雙變量不等式解決策略

文︳楊映湘陳亞凡

例談雙變量不等式解決策略

文︳楊映湘陳亞凡

在平時的數學學習和高考中，我們經常會遇到一類含有雙變量的不等式問題。由于變量多且復雜，學生感到很棘手，找不到突破點，解題的錯誤率非常高。其實，我們可以化雙變量為單變量，再利用導數這個強有力的工具，往往能使問題迎刃而解。

一、分離變量

簡潔性是數學的特性之一，因此，遇到多變量的時候，唯一目的就是化繁為簡，而分離變量就是化繁為簡的手段之一。利用分離變量這一方法處理雙變量問題，一般情況下是式子兩邊變量形式比較對稱，這樣只需把變量分離到兩邊即可解決問題。

二、集中變量

如果變量不能分離出來，或者分離變量顯得更麻煩，這個時候，我們需要考慮將雙變量看成一個整體，利用整體換元的思想解決問題。

例2.已知f（x）=ex，求證：對任意x1，x2∈R，

證明：不妨設x1＞x2，

設g（t）=et-e-t-2t，（t＞0），則g′（t）=et+e-t-2≥

所以g（t）在（0，+∞）上單調遞增，則g（t）＞g（0）=0，因此當t＞0時，et-e-t＞2t。從而原不等式成立。

題目中，x1，x2不好分離，因此，我們通過將變量x1，x2整體代換，使問題變成單元變量，從而得解。

三、固定其中一個變量作為參數

當分離變量、換元等方法都行不通的時候，我們可以考慮將其中一個變量作為參數，也可使問題得以解決。

例3.已知f（x）=xlnx，求證：當0＜a＜b時，0＜

證明：f（x）=lnx+1，

當0＜x＜a時，F′（x）＜0，當x＞a時，F′（x）＞0，

即F（x）在x∈（0，a）上為減函數，在x∈（a，+∞）上為增函數，

所以F（x）min=F（a）=0，又b＞a，所以F（b）＞F（a）=0，

當x＞0時，G′（x）＜0，因此G（x）在區間（0，+∞）上為減函數；

因為G（a）=0，又b＞a，所以G（b）＜G（a）=0，

當然，解雙變量問題遠不止這些方法，需要靈活考慮。在處理這些問題時首先可以往以上思路上去想。比如下面這個題目：已知函數f（x）=lnxma+m（x＞0），

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，證明：對任意的0＜a＜ b，求證

我們不能用分離變量去處理，那又怎么解決呢？

（作者單位：長沙市明德中學）