古典概型的常見模型歸納

江蘇 王 翔

古典概型的常見模型歸納

古典概型是一種特殊的概率模型，也是一種最基本的數(shù)學(xué)模型．古典概型的教學(xué)應(yīng)立足模型建構(gòu)的定位，抓住關(guān)鍵特征，突出本質(zhì)，以便學(xué)生理解和接受概率論這一重要模型．學(xué)生不僅要學(xué)會如何計算這一類概率，更要在思想方法和解決問題策略上有所啟示和提升．

1.基本事件個數(shù)少的問題可以采用枚舉法

【例1】甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1)若從甲、乙兩校報名的6名教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；

(2)若從甲、乙兩校報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率.

【解析】(1)從甲、乙兩校報名的6名教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果為：(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，共記9個基本事件；

(2)從甲、乙兩校報名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為：(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，甲女)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共記15個基本事件；

【變式1】小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M,I,N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是

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2.同一事件涉及多個因素可用樹狀圖

【例2】經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，同向而行的三輛汽車都經(jīng)過這個十字路口時，求下列事件的概率：

(1)三輛車全部繼續(xù)直行；

(2)兩輛車右轉(zhuǎn)，一輛車左轉(zhuǎn).

【解析】畫出三輛汽車先后經(jīng)過一個十字路口轉(zhuǎn)向的樹狀圖，可以發(fā)現(xiàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有27個，它們出現(xiàn)的可能性相等，即共有27個基本事件.

【評注】當一次試驗涉及3個或3個以上的因素時，通常借助樹狀圖不重不漏地計算基本事件總數(shù)．樹狀圖一般從上至下或從左至右進行“枝葉展開”，注意“不重不漏”的進行列舉.

【變式2】“石頭、剪刀、布”是個廣為流傳的游戲，游戲時甲乙雙方每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢中的一種，規(guī)定：“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢不分勝負須繼續(xù)比賽．假定甲乙兩人每次都是等可能地做這三種手勢，那么一次比賽時兩人分出勝負的概率是多少？甲勝的概率是多少？請用樹狀圖的方法解決．

3.每個事件涉及兩個因素可用列表法

【例3】隨機地擲一枚骰子兩次(或拋擲兩枚骰子一次)，計算：

(1)點數(shù)出現(xiàn)兩個4點的概率；

(2)點數(shù)之和是7點的概率．

【解析】隨機地擲一枚骰子兩次(或拋擲兩枚骰子一次)，所有結(jié)果如下表所示：

第1次第2次 1點2點3點4點5點6點1點(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2點(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3點(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4點(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5點(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6點(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

由上表可知，隨機地拋擲兩枚骰子的基本事件總數(shù)是36種.

(1)記“點數(shù)出現(xiàn)兩個4點”的事件為A，從上表可以看出事件A包含基本事件的個數(shù)為1個：(4,4)，

【評注】當一次試驗涉及兩個因素，且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時，為不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法.本題運用表格將36種情形一一列舉，一目了然．

【變式3】某中學(xué)一年級有12個班,要從中選2個班代表學(xué)校參加某項活動,由于某種原因,一班必須參加,另外再從二至十二班中選1個班,有人提議用如下方法:擲兩個骰子得到的點數(shù)和是幾(見下表),就選幾班,你認為這種方法公平嗎?

第1次第2次 1點2點3點4點5點6點1點(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2點(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3點(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4點(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5點(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6點(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)