極值點偏移問題破解策略

湖北 聶文喜

(作者單位：湖北省廣水市第一中學)

極值點偏移問題破解策略

近年來，一類以極值點偏移問題為背景的導數題在高考或模擬考試中頻頻出現，而學生對這類題的解答普遍感覺比較困難.筆者介紹幾種常見破解策略，以供同仁參考.

策略1.構造差值消元

在求解一類以指數型函數為背景的極值點偏移問題時，由于此類問題中含有雙元變量x1和x2，我們常常通過構造差值換元t=x2-x1，將二元變量x1，x2的問題轉化為一元變量t的問題，從而達到降元減維的目的.

【例1】(2014·江蘇省南通市二?！?0)設函數f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，且x1

(Ⅰ)求a的取值范圍；

【解】(Ⅰ)過程略,a>e2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a>e2，且0

因為函數f(x)=ex-ax+a(a∈R)的圖象與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，

所以ex1-ax1+a=0， ex2-ax2+a=0 ，

因為f′(x)=ex-a，

令x2-x1=t，則x2=x1+t，t>0，

所以g(t)在(0,+∞)上單調遞減，且g(0)=0，

【變式】已知函數f(x)=2ex-ax-2a(a∈R).設函數y=f(x)圖象上任意不同的兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)且x1f′(px1+qx2)(其中正常數p，q滿足p+q=1且p≥q).

令x2-x1=t，則x2=x1+t，t>0，

所以g(t)在(0,+∞)上單調遞增，且g(0)=0，

所以t>0時，g(t)>0，

又f′(x)在R上單調遞增，

綜上所述，k>f′(px1+qx2).

策略2.構造比值消元

將①式解得a代入上式得

【點評】令x2=x1t，把問題轉化為一元變量t的不等式問題，然后構造關于t的函數，以導數為工具進行證明.

策略3.構造對稱差函數

已知函數f(x)在定義域內有唯一極值點x=x0，且x1,x2是f(x)的兩個零點或f(x1)=f(x2)，證明：“x1+x2>(或<)2x0”的極值點偏移問題時，我們常常將x1+x2>(或<)2x0轉化為x2>(或<)2x0-x1，利用函數f(x)的單調性將證明x2>(或<)2x0-x1轉化為證明f(x2)>(或<)f(2x0-x1)，再利用f(x1)=f(x2)得f(x1)>(或<)f(2x0-x1)，進而構造對稱差函數g(x)=f(x)-f(2x0-x)(函數f(2x0-x)是函數f(x)關于直線x=x0對稱的函數)，然后以導數為工具進行證明.

【例3】(2016·新課標Ⅰ理·21)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2<2.

【解】(1)過程略，a>0.

(2)由(1)可知a>0，f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，不妨設x11，因為f(x1)=f(x2)，所以x1+x2<2?x1<2-x2<1?f(x1)>f(2-x2)?f(x2)>f(2-x2).

令g(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+a(x-1)2-[-xe2-x+a(1-x)2]=(x-2)ex+xe2-x，x>1，

則g′(x)=(x-1)(ex-e2-x)>0，

所以g(x)在(1,+∞)單調遞增， 所以g(x)>g(1)=0，即f(x)-f(2-x)>0，

所以f(x2)-f(2-x2)>0，所以原不等式成立.

【變式】(2010·天津理)已知函數f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

【解】f′(x)=(1-x)e-x，所以f(x)在(-∞,1)單調遞增，在(1,+∞)單調遞減.

不妨設x2>x1，則x1<1，x2>1，所以x1+x2>2?x2>2-x1>1?f(x2)

令g(x)=f(x)-f(2-x)=xe-x-(2-x)e-(2-x)，x<1，則g(x)=(x-1)(ex-2-e-x)>0.

(作者單位：湖北省廣水市第一中學)