矩形的一個性質及應用

山東省單縣第一中學(274300) 馬天航

矩形的一個性質及應用

山東省單縣第一中學(274300) 馬天航

性質:若矩形中橫線與縱線的長度和為定值,則當橫線長度之和與縱線長度之和相等時,矩形的面積最大.(注:本文中的橫線與縱線分別都平行且等于矩形的邊長)

證明:如圖 1所示,矩形ABCD中,n條橫線的長度都是x,m條縱線的長度都是y,且nx+my=k(定長),則

圖1

也就是說當橫線長度之和nx與縱線長度之和my相等時,矩形ABCD的面積最大.此結論雖然簡單,在現實生活中卻有著廣泛的應用.

例一、用6m長的鋁合金型材做一個形狀如圖2所示的矩形窗框,窗框的長、寬各為多少時,它的透光面積最大?最大透光面積是多少?

圖2

解:由本文性質知,窗框的長6m÷2÷2=1.5m,寬為6m÷2÷3=1m時,它的透光面積取最大值是1.5m×1m=1.5m2.

在實際問題中,往往涉及到“一面靠墻”等條件,我們不妨利用對稱的性質,轉化為我們所熟知的問題.

例二、(如圖3)某中學課外活動小組在一面靠墻的空地上用長為30m的籬笆,圍成中間隔有二道籬笆的矩形生物苗圃園,求垂直于墻的一邊的長為多少時,這個苗圃園的面積最大?并求出這個最大值.

圖3

解:作矩形ABCD關于DC的對稱圖形FECD,矩形ABEF中籬笆的總長度是60m,由本文性質知,當2AB=4AF=30m,即AB=4AD=15m亦即AB=15m AD=3.75m時,矩形ABEF取最大值,同時苗圃園ABCD的面積取最大值15m×3.75m=56.25m2.

例三、某農戶計劃利用現有的一面墻再修四面墻,建造如圖4的長方體水池,培育不同品種的魚苗,他已備足可以修高為1.5m,長為18m的墻的材料準備施工,若想使水池的總容積最大,與現有一面墻垂直的墻的長度應為多少?最大容積是多少?(不考慮墻的厚度)

圖4

解:由本文性質知,當2AC=2×3AD=18m,即當AC=9m,AD=3m時,長方體水池有最大容積,最大容積是9m×3m×1.5m=40.5m3.