運用波利亞解題理論談一道平面幾何題的思維歷程

華南師范大學數學科學學院(510631) 莫玉桂

運用波利亞解題理論談一道平面幾何題的思維歷程

華南師范大學數學科學學院(510631) 莫玉桂

在數學教學中,《數學課程標準》建議教師“讓學生在現實情境中體驗和理解數學”[1],可見在體驗中感悟數學知識是學生掌握數學知識和技能的重要途徑.筆者以數學聯結能力和數學洞察力為立意,以波利亞解題理論為載體,以一道初中平面幾何題的解題困惑為線索,對例題進行分析,力圖消除教師及學生對數學解題的神秘感和恐懼感,使數學解題成為生動和有趣的事情.

1 問題

例如圖所示,在△ABC中,∠CAB是鈍角,AB=BD= DC,∠BCA=30°,求∠CAD的大小.

圖1

2 解題分析

第一階段,弄清問題[2]

問題1 題目要我們求解的是什么?

要求解的是∠CAD的大小.

問題2 我們有些什么?

第一,題目所給的三個條件,即∠CAB是鈍角,AB= BD=DC,∠BCA=30°;第二,在八年級就學習過的一個性質,即“在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半”;第三,已經學習過的全等三角形的判定定理;第四,已經學習了三角形內角和定理、等腰三角形的性質等一些基礎性的知識點.

第二階段,制定計劃[2]

問題3 怎樣才能求得∠CAD的大小?

思路 1:由幾組邊相等可以轉化為角相等以及∠BCA=30°等條件認為利用三角形內角和定理即可解答.經過計算,得到的結果總是恒等式,因此提出兩點困惑:如若利用三角形內角和定理來解答,則只用到了題中的兩個條件,而“∠CAB是鈍角”這個條件對本題的解答起何作用?此外,“∠BCA=30°”這個條件除了可以用于三角形內角和定理的求解思路中還能怎么運用?由此得出思路2.

思路2:若將∠BCA=30°放在一個直角三角形中,一方面可以求得另一個銳角為,這樣等于條件多了一個已知量,更加便于求∠CAD的大小;另一方面還可以利用“在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半”這一性質進行一些必要的證明.因此需添加輔助線構造出關于∠BCA=30°的直角三角形.

問題4如何選取有效的輔助線?

根據上面的分析可在圖中做出三條與解題較為相關的輔助線,即BF,EG,以及過A作BC的垂線,構成以∠BCA為內角的直角三角形.然而實際上這三條輔助線中只有兩條是對于本題的解答有幫助的,此時就需要教師引導學生學會利用已知條件選取有效的輔助線,且更進一步理解輔助線的用處,杜絕亂添加輔助線的行為,從而提高解題效率.

問題5“在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半”用于何處?

學生直接運用這一性質,則比較容易能夠證明出△BDG和△BAF全等,但由于最終的解答需要多次進行角之間的相互轉化,基礎比較薄弱的學生不易想到后面幾步的轉化.因此,教師在講解這一部分時可以采用逆推法,從結論開始進行分析,逐步引出所需要的條件,最終得以解答,這樣一個循序漸進的過程能夠使學生易于接受.

第三階段,實施計劃[2]

解過B作CA的垂線BF交CA的延長線于F,過D作DG⊥BC交于G,延長GD交AC于E.∵BD=DC,∴BG= GC.∵在Rt△BFC中,∠BCF=30°,∴BF=BG.又∵AB=BD,∴△BDG△BAF,∴∠BDG=∠BAF ,∴∠FAD=∠GDA,∴∠EAD=∠EDA.又∵在Rt△CGE中,∠BCF=30°,∠GEC=60°,∴∠AED= 120°,∴∠CAD=∠EDA=30°.

圖2

第四階段,回顧[2]

困惑∠CAB是鈍角的意義.

上述的解答還是沒有將“∠CAB是鈍角”的作用進行說明,學生也許會認為這個條件是多余的,但實際上這個條件對于求解結果起著至關重要的作用,這就需要教師在回顧這一階段對學生加以引導.不過,教師恐怕很難解釋得清楚“∠CAB是鈍角”這個條件在解題中的作用,此時,教師應該引導學生從不同的角度看問題,從而發現“∠CAB是鈍角”的奧妙所在.

根據三角形關于角可以分成三類,下面可分別從三個不同的角度去分析∠CAB的意義.

角度1特殊化觀點看清題目本質,即∠CAB=90°.

既然本題的關鍵是利用“在直角三角形中,角所對的是直角邊的一半”,那么可以從最那么可以從最簡單的情況入手,由簡入深.

當∠CAB=90°時,即點A與點F重合,點D和點G重合,由AB=AD和∠ABC=60°可證△ABD是等邊三角形,則AD=DC,于是求得∠CAD=30°.

圖3

通過與原題比較可知,點A和點D都移動到了特殊的位置,但是與分析角度關系最為密切的是點A的位置變化(由于∠CAB是隨著點A的變化而變化),因此在分析過程中應該更多的關注點A的位置變化.

角度2 點D在Rt△BFC外,證∠CAB=150°.

原題是點D在Rt△BFC內的情況.從“角度1”的分析中可以知道點D的位置會隨著點A的位置變化而變化,由此利用幾何畫板可知當點A在線段CF上移動時,點D始終在Rt△BFC外時,∠CAB仍然是鈍角并且∠CAB=150°.

下面給出相應的證明.

圖4

過B作CA的垂線BF交CA的延長線于 F,過 D作DG⊥BC于G.∵BD=DC,∴BG=GC.∵在Rt△BFC中,∠BCF=30°,∴BF=BG.又∵AB=BD,∴△BDG△BAF.∴∠BDG=∠BAF,∴∠EAD=∠EDA.又∵在Rt△CGE中,∠BCF=30°,∴∠GEC=60°,∴∠AED=120°,∴∠EAD=∠EDA= 30°,∴∠CAD=150°.

角度 3 運動的觀點看 ∠CAD的角度變化,即0°＜∠CAB＜90°.

圖5

當0°＜ ∠CAB ＜ 90°時,利用已知條件同樣可以證明△BDG△BAF,但是卻不能運用類似于原題的方法來求解,而且根據中學生實際的知識水平,暫時還不能求解出∠CAD的具體度數.由題目與角度2注意到∠CAD的度數隨著點A的位置變化而變化,因此當點A是CF的延長線上的任意一點時,教師可以利用幾何畫板一起與學生探究∠CAD的度數會隨著點A的變化而怎樣變化.通過比較發現每次移動點A時,∠CAD的度數都是不同的.

角度4 一圖看所有情況.

當點A與點C重合時△ABD變成了一個等邊三角形,根據題目的條件及以上的分析考慮作其對稱圖形,于是將求解∠DAC轉化為求解相應相等角.綜合以上分析,筆者將在一個等邊三角形中分析上述所有情況.

由以上的分析可做出圖形如右圖所示,過B作CA的垂線BF交CA的延長線于F,過D作DG⊥BC于G,以BF為對稱軸作△C′FC△BFC,C′G⊥BC,且C′G交AC于E,連接AC′.

圖6

首先說明一點,以下兩種情況不滿足題意,故下面的分析對其不進行考慮.第一,點A與點D在E處重合,第二,點A與點C重合同時點D與點B重合.

(1)當點A在CE的上移動時,即圖中點A′的位置,從圖中我們易知四邊形CA′D′C′是一個等腰梯形,所以根據∠CA′D′+∠ACC′=180°以及∠ACC′=30°得∠D′A′C=150°.

(2)當點A在EF的上移動時,同樣易知,四邊形CDAC′是一個等腰梯形,因此可求得∠CAD=∠ACC′= 30°.

(3)當點A與點F重合時,易知∠DAC=30°.

(4)當點 A在 CF的延長線上移動時,即圖中點A′′的位置,同理可以證明△BGD′′△BFA′′,則由∠FBA′′=∠GBD′′和∠GBF=60°可知∠A′′BD′′= 60°.又由BA′′=BD′′得△BA′′D′′是等邊三角形,則A′′D′′=BD′′=CD′′,故∠CA′′D′′=∠D′′CA′′.由此可知∠CA′′D′′的角度會隨著∠A′′D′C的變化而變化,而∠CA′′D′′會隨著點A的移動而變化.由于題目所給的已知條件有限,故不能求解出的具體度數.

結論:通過對以上的“角度分析”進行比較可以得出以下結論.

(1)當點A與點F重合時,∠DAC=30°;

(2)當點A在CF的延長線上移動時,∠DAC的度數隨著點A的移動而變化;

(3)當點A在EF的上移動時,∠DAC=30°;

(4)當點A在EC的上移動時,∠DAC=30°.

3 結語

本文意在突出解題理論的習慣性分析問題、解答問題的歷程,重點強調一題多變對學生能力提升的重大意義,以及題海戰術的不可取性.為了讓學生能夠更系統地學習幾何題的解法,提高此類問題的教學質量,筆者認為應該做到以下幾點:首先,教師應從學生的學情出發選取或命制不同難易程度的題目,以便于學生由表及里地對此類題目進行練習、總結和提升.其次,教師應從學生的思維習慣出發,多角度分析此類題目,指導學生發現解題障礙及其突破口,從而進行更加有效的數學問題解決教學.最后,我們應該將解題歷程思維訓練上升到系統的理論知識,使其能用于指導學生學習,指導教師教學.

[1]嚴士建,張奠宙,王尚志.普通高中數學課程標準(實驗)解讀[M].南京:江蘇教育出版社,2003.

[2]羅增儒,羅新兵.波利亞的怎樣解題表[J].中學數學教學參考(教師版),2004年第5期:29-32.