高中數列求和的有效方法初探

董興勇

【摘要】 數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.生活中具有較大的應用價值.數列求和是數列的重要組成部分.通過對數列求和知識的學習，不但可以提高學生的分析、歸納能力和邏輯推理能力，還能很好地鍛煉發散性思維.

【關鍵詞】 高中；數列；求和；有效方法

數列求和在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.除了等差數列和等比數列可以直接用公式求和外，大部分數列的求和都需要一定的技巧，體現轉化思想的靈活運用.教師要引導學生掌握方法，形成規律性的認識，從而掌握通性通法，構建知識框架，提高學習能力.學生通過對數列知識的探究和歸納理解其中蘊含的思想和方法，更好地應用函數思想、方程思想，并且靈活地理解基本概念和公式，在應用中能夠達到得心應手、舉一反三的程度.通過對方法的探究，學生會發現問題，有針對性地分析和思考問題，進而解決問題，達到對知識的掌握.下面介紹四種數列求和的基本方法和技巧.

一、公式求和法，掌握基本求和方法

公式求和法是解決數列求和最為基本的方法，是其他求和方法的基礎.在進行數列求和的教學過程中，首先，教師需要給學生介紹的就是公式求和法.讓學生能運用等差數列或等比數列的前n項和公式求和，教師還要引導學生通過自主探究推導公式，通過合作交流深刻理解公式，從而可以在運用中游刃有余.公式法是一種非常直觀的方法，學生只需要把公式掌握好，在題目中找到相應的量進行套用即可，是一種簡單易行的方法.

典例賞析 已知等比數列{an}的所有項均為正數，首項a1=1，且a4，3a3，a5成等差數列.求數列{an}的前n項和Sn.

分析 由數列{an}是等比數列可得a4=q3，a3=q2，a5=q4，根據a4，3a3，a5成等差數列可以求出q，再根據等比數列的前n項和公式即可求解.

解 設數列{an}的公比為q，

由條件可知a4，3a3，a5成等差數列，∴6q2=q3+q4.

解得q=-3或q=2，

∵q>0，∴q=2，∴Sn= 1-2n 1-2 =2n-1.

在審題的過程中，學生要準確把握首項、末項、公差、公比、第n項和前n項和等信息，還要注意是等差數列還是等比數列，這樣才可以靈活地通過已知的信息最終求出首項和公差（或公比），從而完成公式求和的解題過程.

二、分組求和法，分別解答各個擊破

分組求和法是解決數列求和的常用方法.此類題型的顯著特點是：一個數列的通項公式是由若干個等差數列和等比數列組成，則求和時可以用分組求和法，把具有相同性質的數列分別求和后相加減.這種方法使學生可以通過各個擊破的方式來解決問題，降低解題難度，從而逐步有效地解決問題.

典例賞析 已知數列{an}的通項公式an=n+1，若bn=2 an+ 1 2an ，求數列{bn}的前n項和Sn.

分析 根據已知條件先求得數列{bn}的通項公式bn=2 an+ 1 2an =2 n+1+ 1 2n+1 =2n+ 1 2n +2，通過觀察發現，此數列可分為三個數列{2n}， 1 2n ，{2}，因此，可以采用先分別求出這三個滿足條件的和，再合并即可解決.

在解題的過程中，要學會找到具有共性的各個數列，進而根據每一個數列來一一進行計算，實現對問題的解決.分組轉化法求和的常見類型有兩類：（1）若an=bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，求{an}的前n項和；（2）通項公式為an= bn，n∈奇數，cn，n∈偶數 的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和.

三、錯位相減法，靈活應用解決問題

錯位相減法是解決數列求和的一種重要方法.必須熟練掌握，高中教材中等比數列的前n和公式推導用的就是這種方法.它主要適用于一個數列的每一項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，在解決這類數列求和問題的時候就可以用錯位相減法.即數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和，就采用錯位相減法，這種方法的關鍵是錯位后找到對應項，然后，進行求和處理即可.

學生在解題時通過認真閱讀，仔細思考，可以看出此題在求和時適合采用的方法就是錯位相減法.解決這類問題時，學生需要注意前n項和兩邊同時乘等比數列{bn}的公比，然后，“錯位”作差求解.利用錯位相減法求和還要注意，首先，要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；其次，在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.

四、裂項相消法，分析歸納總結規律

裂項相消法是解決數列求和的一種行之有效的方法.在求和過程中，學生需要把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，在消去了一些不必要的項后，簡化了計算，從而可以快速求和.使用裂項相消法求和時，一定要注意消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，需要注意未被消去的項有前后對稱的特點.

典例賞析 已知數列{an}的通項公式an=2-n.數列{bn}滿足bn= 1 a2n-1·a2n+1 ，求{bn}的前n項和Tn.

通過對題目的閱讀和思考，學生要有一定的判斷能力，能夠看出這一類題是否適合采用裂項相消法求和.把數列的每一項分裂成兩項，使得相加后項與項之間能夠抵消，但在抵消的過程中，有的是依次相消，有的是間隔相消.利用裂項相消法要注意，列項相消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.將通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等.如，若{an}是等差數列，則 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 ， 1 anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 .

上面介紹了幾種數列求和的常用方法，其實，數列求和的方法還有很多，如倒序相加法、遞推轉化法、并項求和法、數學歸納法等.數列求和問題題型多樣，技巧性也較強，以致數列求和問題成為高中數學的一個難點，在各級各類考試中都會涉及對數列求和的考察，因此，在平時的學習中要善于總結規律.

總之，在數列求和的學習過程中，教師要引導學生找到數列求和的突破口，掌握好基本題型和解題的基本思想方法，進而在解題過程中可以靈活運用這些解題方法.學生掌握了數列求和的基本方法后還要不斷地實踐，通過強化訓練來鞏固，最終的達到快速、靈活、輕松解決數列求和.通過數列求和知識的學習與運用，學生的邏輯思維和推理判斷能力會進一步得到提高，為學生提供了一個更加廣闊的數學學習空間.