高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法探究

浙江省常山縣紫港中學(xué) 王 俊

高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法探究

浙江省常山縣紫港中學(xué) 王 俊

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，變量代換解題方法是一種靈活有效的數(shù)學(xué)解題技巧，也是一種數(shù)學(xué)思維方法。當(dāng)數(shù)學(xué)問題中的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變元較多時(shí)，可以引入一些新的變量進(jìn)行代換，從而快速簡化解決問題。變量代換的實(shí)質(zhì)就是“化未知為已知、化繁為簡”，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用變量代換解題方法，對于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題能力具有重要作用。基于此，本文對高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法進(jìn)行了探究，詳細(xì)分析了幾種較為常用的變量代換解題方法。

一、均值代換

對兩個(gè)類似的算式，可以令其算術(shù)平均值為t進(jìn)行代換。如果遇到形式如同a+b=S或者a2+b2=S這樣的對稱結(jié)構(gòu)，可設(shè)，或者等等，這樣的代換方法即為均值代換。

分析：根據(jù)求證要求，可以從題目中的條件“a＞1，b＞1，c＞1”想到“a-1＞0，b-1＞0，c-1＞0”，對后者進(jìn)行均值代換，簡化形式，便能快速求證。

分析：由已知“A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得A+C=120°，B=60°；由“A+C=120°”進(jìn)行均值代換，設(shè)A=60°+α，C=60°-α，再代入可求cosα，即。本題由A+C=120°”、“”分別進(jìn)行均值代換，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值代換外，還要求對三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。

解答：∵A+C=2B，且A+B+C=180°，

∴A+C=120°，B=60°，

設(shè)A=60°+α，C=60°-α，代入已知等式得：

二、三角代換

三角代換應(yīng)用于去根號，或者把代數(shù)式換成三角式更容易求解時(shí)，主要利用已知代數(shù)式與三角知識的聯(lián)系進(jìn)行代換。比如求函數(shù)的值域時(shí)，容易看出x∈[0,1]，設(shè)x=sin2α，，這時(shí)問題就變成了熟悉的求三角函數(shù)值域，能夠如此設(shè)定的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，并且有去根號的需要。……