應(yīng)用型本科院校《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)改革的若干舉措
——以黃淮學(xué)院為例

周紅玲，沈 林

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000)

應(yīng)用型本科院校《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)改革的若干舉措
——以黃淮學(xué)院為例

周紅玲，沈 林

(黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000)

針對黃淮學(xué)院微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中存在的一些問題， 對該課程的教學(xué)進行了一些大膽的改革.主要介紹了課程在教學(xué)內(nèi)容重組、模塊化教學(xué)、實驗教學(xué)、課程考核方式等方面的改革及其取得的成效.

微分方程數(shù)值解；應(yīng)用型；教學(xué)改革

微分方程數(shù)值解是我校數(shù)學(xué)科學(xué)系信息與計算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課程，主要包括有限差分法、有限體積法、有限元法、變分原理和sobolev空間等內(nèi)容的教學(xué).同時由于其應(yīng)用的廣泛性也是一些院校理工科專業(yè)高年級學(xué)生的選修課程.

1 我校微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中主要面臨的問題

自升為本科院校后， 我校數(shù)學(xué)科學(xué)系信息與計算科學(xué)專業(yè)即開設(shè)了微分方程數(shù)值解課程.2014年前，該課程的教學(xué)主要存在以下幾個問題：

第一，學(xué)時少內(nèi)容難。我校信息計算科學(xué)專業(yè)的微分方程數(shù)值解課程的總授課學(xué)時為54學(xué)時，采用教材為李榮華老師、劉播老師編寫的《微分方程數(shù)值解法(第四版)》，按照我校原教學(xué)大綱要求需講授常微分方程初值問題的數(shù)值解法、橢圓型方程的有限差分法、拋物型方程的有限差分法、雙曲型方程的有限差分法、邊值問題的變分形式與Ritz-Galerkin法、Galerkin有限元法的教學(xué)內(nèi)容， 而要完成以上內(nèi)容的教學(xué)至少需要96學(xué)時，因此任課老師在講授時只能把各章的部分重點講到位，不可能做到面面俱到， 學(xué)生在學(xué)完一章后不能有一個整體的把握， 只記住了部分的重點，不利于學(xué)生后期的發(fā)展.同時，由于微分方程數(shù)值解中各種差分格式推導(dǎo)的煩瑣性和各種格式相容性、穩(wěn)定性、收斂性證明的復(fù)雜性，使得微分方程數(shù)值解課程被學(xué)生公認(rèn)為本科階段最難學(xué)的課程之一，大部分學(xué)生反映學(xué)完微分方程數(shù)值解課程后， 只記住了幾個重要差分格式的收斂性等結(jié)論，而不知道具體怎么得來的，這有悖于我校現(xiàn)階段“厚基礎(chǔ)、重應(yīng)用”中“厚基礎(chǔ)”的原則.

第二，純理論課程學(xué)習(xí)積極性減弱。我校原微分方程數(shù)值解教學(xué)大綱中設(shè)定54學(xué)時均為理論學(xué)時，由于課時緊張，任課教師在授課時往往采用“滿堂灌”和“填鴨式”的教學(xué)方式，每一節(jié)課在簡單復(fù)習(xí)上一節(jié)課的重點后，馬上進入下一節(jié)的講解，一章講解完后，處理一下作業(yè)，緊接著進入下一章的講授.學(xué)生在學(xué)完一章后，只記得一些零碎的差分格式及相關(guān)結(jié)論，不知道這些知識點除了解題外， 還有什么用途，就使得老師教的辛苦，學(xué)生學(xué)得迷茫.這有悖于我校現(xiàn)階段“厚基礎(chǔ)、重應(yīng)用”中“重應(yīng)用”的原則.

我校現(xiàn)階段實行“3+1”的教學(xué)模式，而微分方程數(shù)值解課程開設(shè)于大三下半學(xué)期，也即是學(xué)生在校理論學(xué)習(xí)的最后一個學(xué)期.不考研的學(xué)生忙著選擇實習(xí)單位，而考研的學(xué)生忙著復(fù)習(xí)專業(yè)課，對于純理論課程的學(xué)習(xí)興趣不高，達不到教學(xué)效果.

針對我校微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中存在的一些問題，團隊以堅持“特色鮮明的應(yīng)用型本科高校”的辦學(xué)定位為指導(dǎo)思想，對我校信息與計算科學(xué)專業(yè)的微分方程數(shù)值解課程教學(xué)進行了大膽改革.

2 我校微分方程數(shù)值解教學(xué)改革措施

2.1 重組教學(xué)內(nèi)容實行模塊化教學(xué)

由于我校信息與計算科學(xué)專業(yè)大三上學(xué)期開設(shè)的計算方法課程中已經(jīng)詳細講解了常微分方程初邊值問題的處理方法.因此，新的教學(xué)大綱中不在體現(xiàn)常微分方程初邊值問題的數(shù)值解法.同時，在原有的54個學(xué)時中，團隊拿出36個學(xué)時進行理論教學(xué)，那么再按教材講解已無法完成教學(xué)任務(wù).因此，團隊對剩余教學(xué)內(nèi)容進行了重組，并分5個教學(xué)單元進行教學(xué).其中，教學(xué)單元1和5采用傳統(tǒng)教學(xué)方式，教學(xué)單元1主要講授微分方程數(shù)值解課程研究內(nèi)容與考核方法；回顧常微分方程初邊值問題的數(shù)值解法和偏微分方程等相關(guān)知識，為學(xué)生學(xué)好該課程打好基礎(chǔ).在教學(xué)單元5的教學(xué)中，團隊弱化了教材中第5章邊值問題的變分形式與Ritz-Galerkin法的講解，重點讓學(xué)生掌握變分原理和一些簡單的sobolev空間， 為學(xué)生的深造打下基礎(chǔ).重組后，團隊主要講授3種方法：有限差分法(教學(xué)單元2)、有限體積法(教學(xué)單元3)、有限元法(教學(xué)單元4)，其中重點講授有限差分方法，具體課時分配及教學(xué)單元內(nèi)容見表1.

表1 微分方程數(shù)值解教學(xué)單元及理論教學(xué)學(xué)時分配

為了適應(yīng)現(xiàn)階段應(yīng)用型教學(xué)需求，有限差分法、有限體積法、有限元法采用模塊化教學(xué).例如有限差分法，主要從拋物型方程的有限差分法、橢圓型方程的有限差分法、雙曲型方程的有限差分法等3個模塊開展教學(xué)，每個模塊的教學(xué)都設(shè)置了4個相同的教學(xué)過程：區(qū)域剖分、方程離散、初始和邊界處理、性態(tài)研究，通過4個過程的學(xué)習(xí)，完成模塊的學(xué)習(xí)(圖1).對于各過程的教學(xué)，團隊也作了詳細的設(shè)置，區(qū)域剖分重點讓學(xué)生學(xué)會矩形網(wǎng)的剖分和三角網(wǎng)的剖分；方程離散重點讓學(xué)生掌握向前差分格式、向后差分格式、Crank-Nicolson差分格式；初始和邊界處理主要講授Dirichlet邊界、Neumann邊界、混合邊界以及初始條件的處理.性態(tài)研究主要讓學(xué)生了解各種差分格式穩(wěn)定性、收斂性、收斂速度、誤差分析(表2).由于3個模塊的教學(xué)過程完全一致，因此只需將第1個模塊的過程講透徹， 剩下的2個項目的教學(xué)就比較容易了.

圖1 有限差分法模塊化教學(xué)安排結(jié)構(gòu)

表2 模塊化教學(xué)各過程知識點安排

教學(xué)過程知識點 區(qū)域剖分方程的離散初始和邊界的處理性態(tài)研究1矩形網(wǎng)向前、向后差分格式Dirichlet邊界穩(wěn)定性2三角網(wǎng)Richardson差分格式Neumann邊界收斂性3正六邊形網(wǎng)Crank-Nicolson差分格式混合邊界收斂速度4DuFort-Frankel差分格式初始條件誤差分析

2.2 理論教學(xué)中融入實驗教學(xué)環(huán)節(jié)

由于微分方程數(shù)值解課程理論性較強，為了使學(xué)生更好地掌握各教學(xué)過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，新教學(xué)大綱中，設(shè)置了18個學(xué)時的實驗學(xué)時(實驗學(xué)時安排見表3).實驗教學(xué)分為熱傳導(dǎo)方程數(shù)值解法實驗、Poisson方程數(shù)值解法實驗、波動方程數(shù)值解法實驗3個單元，每個實驗單元6個學(xué)時.例如，在熱傳導(dǎo)方程數(shù)值解法實驗中，設(shè)置的實驗題目是：

求解一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題[1]141

ux(0,t)=ux(1,t)=0,t>0,

u(x,0)=cosπx,0

表3 微分方程數(shù)值解實驗學(xué)時分配

通過設(shè)置的實驗可以檢驗學(xué)生對熱傳導(dǎo)方程有限差分法、有限體積法、有限元法的掌握.同時，也使得學(xué)生能夠系統(tǒng)的運用所學(xué)知識解決問題，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

2.3 完善課程考核方式

課程的考核在教學(xué)環(huán)節(jié)中至關(guān)重要.課程考核不僅是檢驗學(xué)生掌握所學(xué)知識的程度，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題能力的手段[2]5.我校微分方程數(shù)值解課程為考試課程，考核方式采用“6+2+2”方式.即“期終考試成績+實驗成績+作業(yè)考勤成績”，各自的比重60%、20%、20%.

期終考試是評估教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)水平的重要手段之一.根據(jù)課程的教學(xué)性質(zhì)、教學(xué)目的、教學(xué)要求，重點考查學(xué)生對基本概念、常用差分格式和差分格式分析的掌握情況，特別對差分格式的應(yīng)用性進行考核，以促進學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識并強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[3]29， [4]124-125.我校微分方程數(shù)值解課程期終考試的題型一般有選擇題、填空題、計算題、證明題、綜合分析題等五種題型，試卷整體綜合性強且考察知識面廣.

實驗成績主要取決于學(xué)生上交的實驗報告，根據(jù)實驗大綱中各個實驗的要求，重點考查學(xué)生對所學(xué)知識的靈活運用能力，團隊協(xié)作能力，論文撰寫能力，程序編寫能力等[5]96-97， [6]91-92.同時，任課老師通過作業(yè)的批閱和平時課堂考勤可以及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題， 并予以糾正，達到敦促學(xué)生學(xué)習(xí)的目的.

3 結(jié)語

近兩年的教學(xué)改革和實踐，得到了學(xué)生和院系的認(rèn)可.學(xué)生們感覺采用這種教學(xué)模式不僅有利于學(xué)習(xí)微分方程數(shù)值解的各種差分格式，而且對實際問題處理的能力也有所提高， 激發(fā)了他們學(xué)習(xí)該課程的興趣，同時拓展了他們的數(shù)學(xué)視野.院系老師也一致認(rèn)為微分方程數(shù)值解課程在教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容、實驗教學(xué)、考核方式等方面進行了大膽的改革與實踐， 并取得了一定的成效.在后期的教學(xué)實踐中團隊將進一步完善模塊化教學(xué)，利用學(xué)校資源實現(xiàn)教學(xué)手段現(xiàn)代化，努力使我校微分方程數(shù)值解的教學(xué)改革更徹底、更完善.

[1] 李榮華， 劉 播.微分方程數(shù)值解法[M].4版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 張宏偉.注重培養(yǎng)研究能力的《微分方程數(shù)值解法》課程教學(xué)研究與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(06).

[3] 廉海榮，趙琳琳， 陳瑞閣，等.關(guān)于“微分方程數(shù)值解”課研究型教學(xué)模式的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28(05).

[4] 楊 韌，楊光崇，謝海英.“微分方程數(shù)值解”的教學(xué)研究與實踐[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(01).

[5] 唐玲艷，屈田興.微分方程數(shù)值解課程教學(xué)的實踐與探索[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010，24(02).

[6] 王保軍，王景泉，徐國東.微分方程數(shù)值解教學(xué)實踐的探究[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，09(12).

[責(zé)任編輯 梧桐雨]

2016-08-09

河南省教育廳教師教育課程改革研究項目“中學(xué)數(shù)學(xué)實驗的開發(fā)設(shè)計與實施策略研究”(2016-JSJYYB-185)

周紅玲(1981- )，女，河南西平人，黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，主要從事偏微分方程及其可視化研究。

G642;O241.8

A

1671-8127(2017)01-0085-04