復變函數教學的探索與實踐

黃喜嬌+秦志芳

【摘 要】 復變函數是一門比較抽象的數學學科，它不像數學分析的有些概念有現實的幾何意義和幾物理意義，實際應用也比較少，為激發學生的學習興趣，結合課程本身的特點，本文主要從創設問題情境、運用類比法，采用啟發式教學、增加互動環節，培養發散思維三方面進行探討。

【關鍵詞】 復變函數；思維能力；實踐

【中圖分類號】 G64.30 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2016）36-0-01

復變函數是數學分析的后繼課程，里面的許多概念、定理等是數學分析的概念、定理在復數域中的推廣，筆者結合自身的教學經驗，嘗試大學數學教學改革中的一些方法，探討了一些基本問題，總結了一些教學手段和規律，具體如下：

第一、創設問題情境

在復變函數的教材中，有些章節的內容，一開始就會給出定理，如果直接講解定理學生不容易理解更不容易接受，所以對于這樣的內容，教師可以用一個例子或者一個實際問題引出概念或定理，激發學生的好奇心，培養他們探究的習慣，逐步引導學生學習。比如，在講柯西積分公式：

（是解析區域中的點）之前，我們可以利用函數的解析性得到，在區域內的圓周上，的值隨圓的半徑的減小而逐漸接近于在圓心的函數值，隨之可以得到，這樣在柯西積分公式的證明中就比較容易理解為什么等式的證明轉化為證明極限了。當然，在復變函數的教學中，恰當的插入數學概念的背景及應用，可以促進學生對數學價值的認識，構筑數學與人文科學之間的橋梁，為課堂增加色彩，增強學習氣氛，避免課堂枯燥沉悶，提高課堂效率。

第二、運用類比法，采用啟發式教學

《復變函數》是《數學分析》的后繼課程，二者在內容上有相似之處，又有區別之分，實數域內有些內容可以直接推廣到復數域，但有些是不可以的，所以在上課的時候，讓他們發現這些內容的區別與聯系，這樣在教學過程中在比較中回顧舊知識，同時也在比較中學習新知識，每一個環節總是在啟發學生主動思考，逐步培養同學們的類比思維方法。比如，在實數域內，恒成立，但在復數域內，也即在復數域內不再成立，同樣不再成立；在實數域內無周期，但在復數域內，是為周期的周期函數，其他的性質實數域與復數域內一致，在復變函數中這樣的例子有很多，所以運用類比的方法可以提高學生的學習興趣，減少內容的冗余量。

第三、增加互動環節，培養學生發散思維

課堂上教師可以以課堂討論、提問的方式引導學生對所學知識進行概括與總結，讓學生將知識經過自己頭腦的分析，從不同角度進行總結歸納。對于習題，啟發學生對于一個問題從多個角度思考，舉一反三，培養他們的發散思維。比如，已知解析函數的實部或虛部，求解析函數的虛部或實部，課本上介紹了兩種方法，但第一種方法比較復雜，第二種方法利用方程相對簡單，后來又補充了一種方法——積分法，這種方法非常簡單，但這種方法需要把轉化為的函數，對于個別學生來說可能有點困難，同學們可以根據自己的學習水平，選擇自己熟練的方法做題，其他方法可根據自己掌握的知識進行研究。

第四、引導學生自主學習、獨立思考、總結和探索的能力

獨立思考是學生學好任何一門學科知識的前提，也是理解和掌握知識的必要條件。課堂上，如果只是教師講解，而學生沒有經過獨立思考，就不可能很好地消化所學的知識，也不可能真正深入理解其中的奧妙，使這些知識成為自己真正掌握的知識。通過思考、討論、總結，學生不但加深了對知識的理解、掌握，還學會了真正的思考，體會了獨立思考的成就感，從而使他們勤于思考、樂于思考，加強了學習的動力。教師在上新課或講習題時，不易講解太細，要給學生留出思考和探究的余地，否則的話，學生看似聽懂了、學會了，實則難以內化為學生自己的觀點，不利于培養學生獨立思考的能力。簡單知識的推導、論證、實數域與復數域內知識的對比以及區別和聯系、知識點及方法的歸納、總結等，可以留給學生去做，這樣，既鍛煉學生自主學習的能力，又能培養學生自主學習的興趣及歸納、探索的能力。

第五、注重復變函數的應用，激發學生的學習興趣

復變函數作為一種強有力的工具，已經被廣泛的應用于流體力學、彈性力學、理論物理及自動控制理論等研究中。在力學專業—非線性振動的學習中，對描述非線性振動系統的微分方程化簡等內容都要用到復變函數的一些基本知識來處理。復變函數的應用，涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解決的.在復變函數中，劉維爾定理和留數是非常重要的知識，不僅在復變函數中有很多應用，而且在其他的課程中應用也比較廣泛。比如在高等代數中，可以應用復變函數中的劉維爾定理（有界整函數必為常數）證明代數學基本定理（在平面上，次多項式至少有一個零點。在數學分析中，并不是所有可積的函數其原函數都可以用初等函數表示出來，因此計算積分的值比較困難，對于有些積分可以利用復變函數的留數知識來計算。

總之，在復變函數的教學中，教師應盡可能的進行背景解釋和應用方面的舉例，有利于學生進一步對概念的理解。運用類比的方法、進行啟發式教學，有利于學生對新知識的理解與掌握，培養學生歸納、探索的能力；把理論背景滲透到教學中有利于激發學生的學習興趣，培養學生的抽象思維能力和實際應用的能力。在以后的教學中，我們應結合自身的實踐經驗、學生的特點及課程的特點，不斷完善復變函數的教學方法及教學模式。

參考文獻：

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