優化建模過程培養數學思維能力

黃蓮花

建立模型并運用模型解決實際問題的過程就是數學建模。數學建模的過程，就是學生不斷思考、不斷對各種信息進行加工轉換的過程，就是不斷激活原有的知識經驗，對當前問題做出分析、推論、綜合、概括，形成假設，并對假設進行驗證的過程，這一過程為數學思維能力的訓練提供了理想的途徑。

一、數形結合，培養“翻譯——轉換”能力

學生學習中感到最難的是對題意的理解。學生理解了題意，學習就成功了一半。如何正確理解題意，“數形結合”思想的運用是有效策略之一。

如，教學《乘法分配律》時，教師創設了如下解決問題的情境：

希望小學的操場是一個長方形，原來長60米，寬30米，擴建后，寬將增加10米。擴建后的操場面積有多大？

啟發：要求擴建后的操場面積有多大？解決這個問題其實是求什么？你能不能畫圖清晰地呈現出來？

當學生畫出直觀圖時，就可要求學生將已知信息在圖中標出，并指出所求面積的部分。然后，要求學生：1.獨立思考，嘗試解決。2.組織交流，分析比較。

此時，根據圖示，學生對“擴建后的操場面積”其實就是指“長是60米，寬為（30+10）米的長方形的面積”或者指“原來的長方形與長為60米，寬為10米的長方形的面積之和”，這樣就一目了然了。將問題進行轉化后，就能迎刃而解了。

這個過程，學生將抽象的文字信息轉換為直觀明了的圖示，使所求問題與信息得到有效關聯，不僅問題得以解決，更重要的是學生自主分析、取舍、判斷、表達、數學語言的翻譯能力也得到了鍛煉和培養。

二、“假設”先行，培養“洞察——猜想”能力

洞察能力，通常指能深入、清楚地了解事物的本質，快速抓住要害，一舉解決問題的能力。假設，就是根據問題特點和建模目的，對問題進行適當的簡化（抓住主要矛盾，舍去一些次要因素），提出幾條合理的假設。假設（猜想）的過程，是學生迅速檢索已有知識經驗（或知識基礎）并做出判斷、選擇的思維過程。這種長期積累經驗，由量變到質變的轉化過程就是學生洞察能力得以提升的過程。

教學中，教師要適時創設模型假設的環節，引導學生大膽猜想，但不要過早評判，要先關注猜想背后的思想：是學生調動原有知識經驗的猜想，或是盲目的猜測？同時，引導學生在操作、證明、交流、質疑中用事實驗證自己的假設，或糾正自己的錯誤假設。

例如，一位教師在教學《異分母分數加減法》時，依據情境，學生抽象數學問題并列出算式如何計算？憑借已有的知識基礎和經驗，學生可能會得出以及兩種答案。透過背后的依據分析，學生可能是基于下面的兩種經驗做出的假設：分子相同，只要把分母相加就行，所以；把分子和分母分別相加，即。教學時，教師不急于反駁，而是問：大家有什么看法？很多學生馬上提出反駁意見，認為兩種假設得出的答案都比加數小，所以答案不對，假設顯然不合理。如何修正呢？此時，教師適時提出：“為什么計算同分母分數相加減時，分母不變，可以把分子直接相加減？”這樣，學生在教師的提醒下，就很容易想到，把異分母變成同分母就可以進行計算，明白“分數單位相同，才可以直接相加減”這一計算的本質。由此，得出合理的模型假設。

由上可以看出：無論是學生的假設還是學生自己的反駁，其實是學生原有的認知基礎對學習所起的負遷移或正遷移，這個過程，恰恰是學生透過現象逐步接近本質的過程。教學過程中教師有意識地放緩腳步，允許學生猜想、質疑，再適時地加以引導，使學生對模型的認識從模糊到清晰，由現象到本質，學生洞察思維能力得到有效的鍛煉。

三、“驗證”跟進，培養“分析——推理”能力

數學教學要培養學生應用所學到的數學方法和思想進行綜合應用和分析，利用嚴格的邏輯推理來得到我們所需要的結果。

任何一個數學模型的建立，都要經歷一個驗證推理的過程。

如，教學《長方形、正方形的認識》時，學生通過觀察猜測，并用自己的語言描述出長方形和正方形的特點后，教學很快進入學生自我驗證的環節，這是本課學習的重中之重。教師一個問題“怎么驗證剛才的這些猜想呢？有什么方法嗎？”引出了來自學生思考得出的“比、量、折”等多種驗證方法。但是學生操作驗證如何進行？如何反饋？不同的教師教學的效果是不一樣的。有的教師讓學生四人小組合作，然后匯報出以上幾種方法后，教師就匆匆收尾了，直接得出猜測是正確的。但是，有經驗的教師，有智慧的教師，卻能抓住真正促進學生思維能力和空間觀念提升的細節進行彰顯。比如，當學生匯報用“折”的方法驗證正方形四條邊都相等時，教師不僅滿足于學生說出“把正方形上下對折、前后對折”還要求說出這樣對折后說明了哪些邊的長度相等？要求說出“把正方形沿對角線對折之后，又證明了哪些邊的長度相等？”“回顧三次對折的過程，怎樣說明四條邊都相等？”

操作驗證的過程實際上是一個思維層面的操作活動，邏輯推理過程是否清晰，借助數學語言的組織和表達，才能夠明了。因此，學生進行猜想后就必須跟進驗證，驗證過程不能僅僅停留于形式，而一定要有嚴格的邏輯推理，充分展現學生的分析過程。這樣，學生的分析推理能力才能真正得到提升。

四、“符號”提煉，培養“抽象——概括”能力

學生建立模型的過程，不僅要經歷操作表征、圖像表征的過程，更重要的是必須進入符號表征的階段，前兩個過程還只是停留在較低層面的操作水平，后者才是我們所要培養的較高層次的思維水平。因為經歷符號表征的過程就是去偽存真，提煉本質內涵，使之符號化、結構化、形式化的抽象過程，這個過程有助于培養學生的抽象概括能力。

無論是概念教學，還是法則、公式的推導，抑或是解決問題的過程，都需要學生經歷符號提煉的過程。

如，教學人教版六年級上冊《數學思考》一課時，可通過創設情境，引導學生進入規律的探究過程中。經過討論，學生把“有幾個隊比賽，一共可以打幾場”的生活問題轉化為“有幾個點，一共可以連成幾條線段”這一數學問題。當探究后得到“2個點可以畫1條線段，3個點可以畫3條線段,4個點可以畫6條線，5個點可以畫10條線段”時，教師適時提問：6個點、7個點、10個點、20個點可以畫幾條線段呢？你有什么發現？這時，學生需要對剛才探究得到的答案進行過程的有序分析，發現每一次的結果都是：有幾個點就從1一直加到比幾少一的數，即有n個點就能連成1+2+3+4+……+（n-1）條線段。因為借助生活情境，借助圖示幫助理解算理，學生還會有這種模型的發現，即有n點就能連成n×（n-1）÷2條線段。

學生借助實物操作，圖像表征并從中發現并表達出規律的過程，其實就是模型建立的過程。提煉的效果如何受一定因素制約：一是學生探究過程的有效性，學生是否真正理解了算理？二是學生歸納推理的能力，他們能否有序思考、分析并發現其本質內涵？除此之外，學生是否具有較強的語言表達能力，以及凝練概括的能力如何也是重要因素之一。因此，這個過程教師要重視引導學生有序觀察，要充分運用圖示幫助理解規律所蘊含的道理，加強師生、生生之間的交流，并學會用規范的數學語言表達。這對學生語言概括能力的提升是有效的。

五、“橋梁”搭建，培養“聯想——直覺”能力

要具備有良好的聯想能力，首先要有對事物廣泛的興趣，平時多思考、多積累，這樣遇到新問題的時候，就可以通過聯想、類比對原來的經驗進行加工、改組或重構，觸類旁通。教學中諸如：你在生活中見到過這樣的現象嗎？這和我們之前學過的某某知識有什么不同？用這樣的模型能解決生活中的哪些實際問題？等等。搭建的這些“橋梁”都是啟發學生思考的有效問題。因此，教學中教師要重視模型解釋與應用這一環節的設計。建立模型后，教師要組織學生將數學模型還原為具體的數學直觀或可感的數學現實，使已經構建的數學模型得以擴充和提升。將建立的模型運用到實際生活中，能使原本復雜多樣的問題類型得以歸類、簡化。這一過程，學生的聯想直覺能力可以得到有效鍛煉。

以《乘法分配律》教學為例，在模型的解釋應用和拓展環節可做如下設計：

第一步：簡便計算：37×7＋37×3；48×19＋52×19；102×17。

1.學生獨立計算。

2.反饋交流。

在校對完答案之后，教師引導學生展開想象。

第二步：聯系長方形面積模型，這些算式可以想象成求什么？試著畫出草圖。

第三步：這些算式除了解決生活中的長方形面積外，還能解決哪些實際問題？

第四步：“希望小學的操場是一個長方形，原來長60米，寬30米，擴建后，寬將增加10米。增加的部分比原來的面積少多少？”

上述環節，第二、第三步的設計，要求學生將所學知識和現實生活中的問題進行聯系，這一“橋梁”搭建，促使他們調動頭腦中的直覺反應，通過聯想、類比對學生原來的生活經驗即實際問題與模型相類似的數學結構進行加工、改組或重構。這樣，學生在解決不同情境中的實際問題中逐漸形成了乘法分配律的“數學形式”，從而使復雜的問題得以簡化，達到了化繁為簡及觸類旁通的效果。

第四步的設計，是結合實際將求得的數學結果放到實際情境中去檢驗，不僅使模型具有實際意義，更重要的是還拓展了數學模型：乘法分配律同樣適用于兩個數的差。這是一個不斷探索與發現的過程，體現了數學學習是學生用數學知識解決問題和發現新的數學知識的過程，拓展數學模型，引領學生走向數學更深處的本源。

通過搭建橋梁，在數學建模過程中學生的聯想思維、綜合分析和運用的能力會得到有效提升。

數學思維能力的培養是貫穿于教學的全過程中，甚至于某一思維能力是穿插在幾個建模過程之中的，之所以如上述那樣界定，無非是想表達一種觀點，任何一個建模過程如能好好挖掘其中蘊含的數學思維，采取適當的方法策略進行適合的培養，那么學生不僅思維能力得到提升，更重要的是在日積月累、潛移默化中領悟和運用數學建模思想解決問題的能力也會得到提升。