用數學建模思想組織教學
——《“兩積之和結構”的應用問題》教學設計

陳　慧

【教學內容】

浙教版四年級應用問題之“兩積之和結構”。

【教學過程】

一、課前談話

師：上學期我們學了三步計算的應用問題，今天我們來研究其中的一類——“兩積之和結構”的應用問題。

（板書課題：“兩積之和結構”的應用問題）

師：看到“兩積之和結構”你有什么想問的？

生：什么叫“兩積之和結構”？

生：“兩積之和結構”的問題有哪些？怎么解決？

二、新授

1.逐步呈現“兩積之和結構”。

第一環節：

師：老師家的兩塊玻璃不小心打破了，現在老師想配這兩塊玻璃。要想知道應該付給玻璃店老板多少錢，你認為需要知道什么？

生：要想知道總價錢，我們需要知道玻璃的單價，以及待配玻璃的總面積。

（出示課件，單位cm，下同）

師:現在能求出玻璃的總面積嗎？怎么求？

生：要求兩個長方形的面積和，可以先分別計算出長方形A和B的面積，也就是12×20和15×10，然后把它們的積加起來，算式是：12×20+15×10=390。

（教師引導學生觀察算式結構，得出“積+積=和”的結構，也就是“兩積之和結構”）

第二環節：

（出示課件）

師：和前一幅圖相比，這幅圖有什么變化？你還能求出A、B的面積和嗎？

生：這道題沒有直接給出A的寬。

師：這個問題是“兩積之和結構”嗎？

生：是兩積之和，只是其中的一個信息要間接求得。

［學生獨立嘗試，教師展示并講評：15×10+（30-10）×12］

第三環節：

（出示課件）

師：這回又有什么變化？有發現嗎？

生：第一幅圖告訴我們A、B的長、寬，求它們的面積和；現在A、B的面積和，B的長、寬以及A的長知道，要求A的寬。

師：還是這幾個數量，只不過把原來未知的變成已知的；把原來已知的一個信息，變成未知的問題。

（學生獨立嘗試的基礎上，教師指名展示、講評）

生：（390-10×15）÷20=12。

生：10×15+20×？=390。

師：我們先看“10×15+20×？=390”，能看懂嗎？

生：10×15就是 B的面積，20×？就是A的面積，合起來是 390cm2。

師：那么“（390-10×15）÷20=12”是什么意思呢？

生：390減去B的面積就是A的面積，然后用面積除以長求出A的寬。

生：這兩種算法是一樣的。“10×15+20×？”表示了題目本來的意思，“（390-10×15）÷20”就是求解“？”的過程。

師：你們認為這道題是不是“兩積之和結構”的問題？

生：是“兩積之和結構”的逆向問題。

板書:▲×20+10×15=390

▲=（390-10×15）÷20

2.雞兔同籠問題。

（出示圖：觀察已知和未知）

生：15×▲+12×●=390。

生：15×▲表示B的面積，12×●表示A的面積，390是面積和。

生：圖中還告訴我們▲+●=30，所以我建議把等式改成：15×▲+12×（30-▲）=390。

（教師引導學生結合圖，解釋等式各部分表示的意思）

師：我們怎么來求▲表示多少呢？

（視班級基礎，結合圖形引導求解）

3.比較與聯系。

師：（整體呈現四個問題）它們有什么聯系與區別？

生：都是“兩積之和結構”，可以把直接信息變為間接信息，也可以從正向求和變為逆向求取其中一個數量。

小結：數學中有很多問題實質上是同一類數量結構，只是做了一些變化，我們只要抓住本質，就能化繁為簡、化難為易。

三、鞏固應用

1.讀一讀，想一想，下面的問題和前面“兩積之和結構”的圖像有什么聯系？

商品　單價　數量A 20　12 B 15　10總價　？

生：A的單價和數量相當于A長方形的長和寬，A的總價相當于A長方形的面積；B同此理。本題和第一幅圖表示的結構一樣。

師：第一幅圖除了可以表示總價和，還可以表示什么？誰能再用圖里的信息編一道應用問題？

工作問題：師傅每小時做20個零件，做了12小時，徒弟每小時做15個零件，做了10小時，師徒一共做了多少個零件？

行程問題：一艘小貨船，先以每小時20千米的速度行12小時，又以每小時15千米的速度行10小時，終于從A地到達B地。A、B兩地相距多少千米？

……

2.買8件羊毛衫和7件襯衣共付1646元，1件羊毛衫120元，1件襯衣多少錢？

師：你會做嗎？和“兩積之和結構”的問題有什么關系？

生：這道題是“兩積之和”逆向問題。

師：你能用題目里的這些信息，通過間接條件或者方向變化，改編出哪些應用問題？又分別如何求解？請在作業本上寫一寫，算一算。

四、全課小結（略）

【編輯點評】

多步應用問題一直是小學數學學習中的一個難點。基本數量關系一經復合，錯綜復雜，變化多端。張天孝老師經過長期研究，梳理出小學數學應用問題復合關系的三大基本結構——“兩積之和”“兩商之差”“正反比例”。并基于這三大基本結構，通過情節性、擴縮性和可逆性變換，演繹出了絕大部分小學數學復合應用問題。這就以簡馭繁，幫助廣大教師抓住了應用題教學的“牛鼻子”。

陳慧老師這一節課，教學的正是其中的一種基本結構——“兩積之和結構”。陳老師依托教材，牢牢把握住了其中的數學邏輯，同時又根據學生的認知特點，做了一些創造性的設計，使得教學情境更富童趣，教學層次更加豐富，值得學習。

引入部分，陳老師設計了一個“配玻璃”的現實情境，這個情境既真實又概括，可謂輕重合宜，一舉兩得。真實，可以激發學生參與的積極性；概括，可以較快切入面積圖的分析與學習。

展開部分，陳老師借助面積圖與等式表征，成功強調了“兩積之和結構”及其變式。其中有三個細節顯示出教的主導性和有效性。其一，面積圖層級遞進，設計得比較合理，變式落在多數學生的最近發展區，多數學生有嘗試的積極性和可能性。其二，算術解法和代數解法溝通，用代數解法去點明結構，用算術解法鍛煉逆向推理。其三，以多圖整體呈現，比較聯系作為課堂小結，引領學生跳出具體問題的解決，梳理問題的結構和發展脈絡，做更高層次的反思和概括，培養批判性思維。

練習只有兩題，內涵卻很豐厚。第一題，發散思維，情境變換；第二題，邏輯推理，可逆變換。在變換中進一步強化“兩積之和結構”，積累數學變式的經驗，體會模型思想。

數學課有數學味：概括，使數學簡明；變式，讓數學豐滿。在概括與變式之間自覺穿行，讓我們的學生更加聰明！