化歸思想在常微分方程教學中的應用

韓曉方

（南昌工學院，江西 南昌 330108）

化歸思想在常微分方程教學中的應用

韓曉方

（南昌工學院，江西 南昌 330108）

通常來說，一個數學問題有多種解題方法，其中，化歸思想便是較常用的一種，在常微方程的解法中也多有應用。如果能夠在常微分方程中較好的學習使用化歸思想，那么便能夠更好的學習認識常微分方程，掌握常微分方程的理論和解決方法，同時學生的思維能力和實際應用能力也能夠得到很大的提升。由此，作為教師應該引導學生在數學學習中應用化歸思想，借以提高學生的學習思維能力。

化歸思想；常微分方程；教學

化歸思想是一種常見的重要的解題思想，也是人類基本的思維方法，與此同時，它更是一種有效的數學思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決數學問題時通過運用某種手段將問題變換使之轉化，進而解決問題的方法。一般來說就是將復雜問題簡單化；將難解的問題轉化為容易求解的問；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。總之，化歸思想在數學解題中應用十分廣泛，化歸思想概括來說就是將生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，化歸思想的實質就是以運動變化發展的觀點來看待問題，注重事物之間相互聯系，相互制約的關系，從此出發對所要解決的問題進行變換轉化，從而使問題得以解決。

1 一階常微分方程

在一階常微分方程中，最基礎的兩個是分離變量方程和恰當方程，其他的比較復雜的方程比如齊次方程、線性方程、伯努利方程等都可以通過化歸思想，將它們變換轉化為分離變量方程或恰當方程，將復雜變簡單，變成已經解決的問題，這就是化歸思想在一階常微分方程中的體現。下面舉例子為證。

求解：dx/dy=8x3-4xy3+4x/6x2y2-12y5+6y2

分析：等式右邊的式子中都有公因式，可以將之提出來，整個式子就變成了dx/dy=4x(2y2-y3+1)/6y2(y2-2y3+1)

也就是6y2dx/4xdy=2y2-y3+1/y2-2y3+1,

在這里進行等量代換,即 u=x2，v=y3，就變成了dv/du=6y2dx/4xdy，

這樣方程進一步變成了dv/du=2u-v+1/u-2v+1

這道題計算到這里之后，還要再繼續進行兩次等量變換，最終將式子簡化到變量分離方程式這樣的基礎方程式，之后兩邊通過積分求解解得最終答案。

通過這個例子，可以了解到一階常微分方程經過多次等量變換，層層運用化歸思想，最終將其變換成最基礎最簡單的分離變量方程進行最后的求解，這樣的化歸思想的解題方法不僅加深了同學們對微分方程的理解，也更加了解化歸思想的實質，對學生以后進行數學解題的思維和應用有很大的提升。

2 高階常微分方程

對于高階常系數的齊次線性方程來說，一般情況下都是通過求其特征根來求解的。運用特征根求解首先要做的是求得其基本的解組，這樣做能夠使積分運算的復雜程度有效降低，將復雜問題簡單化。對于某些高階非齊次線性方程應該首先將其轉化為該方程對應的齊次線性方程求其通解，然后在運用待定系數法求得其結果。這些也都是化歸思想在常微分方程上的應用，都將問題盡量簡單化，變換成可以解決的問題，降低了解決數學問題的難度，提高了解決問題的效率。以下面的為題為例做說明。

例：求解微分方程x（4）-2x“+x=t2-3

首先應寫出其對應齊次線性方程的特征性方程，求出其特征根，求出其通解，然后在運用待定系數法求出該方程的另一個通解。學生可以通過這個例子來感受化歸思想在高階常微分方程中的運用方法，然后進一步提升自己運用化歸思想解決問題的能力。

3 線性微分方程組

化歸思想在非其次線性方程中也有運用。如果我們要對一個非齊次線性方程組求得其解，那么求解的關鍵部分就在于如何求得該方程組對應的基解矩陣。只要求出其對應的基解矩陣，那么就可以在這個基解矩陣中求得該非齊次線性方程組對應的所有解。一般來說系數矩陣是通過求解常微分齊次線性方程而得到的，這個矩陣是常數矩陣，那么同樣的，基解矩陣就可以通過前面求出的系數矩陣來進行求解。這個求解過程一般運用拉普拉斯變換法或者是特征向量法。上述的整個過程便是化歸思想在線性微分方程組求解中的體現，它將包含有常系數的線性微分方程組轉換成為一般的簡單的代數問題，大大降低了問題的難度，以下面的例題為例做說明。

例：試求微分方程組x‘=Ax+f（t）的解。

應該先求得其對應的齊次線性方程組的基解矩陣，再通過非其次線性方程組通解公式求得其最終結果。

化歸思想作為數學學習的一種基本思維，雖然在面臨不同的題目不同的情況下化歸思想的體現并不是完全一樣的，但是其本質大體相同，都是將復雜的問題簡單化，將抽象的問題具象化直觀化，將模糊的問題變得更加清楚。學生在數學學習的過程中掌握化歸思想的運用后有助于他們更好的理解數學抽象的理論知識，更加清楚地理解數學問題的本質，在生活中更好的解決問題。因此，教師在進行數學的教學時，一定要有意識地引導學生用化歸思想的方法解決問題，從而進一步提供他們的思維能力和綜合素質。

[1]何天榮.化歸思想在一階微分方程初等解法中的體現[J].科技風，2016，（18）：43.

[2]張恩賓.化歸思想在常微分方程求解中的應用[J].河南科技，2014，（22）：244-245.

韓曉方，女，講師，碩士研究生，主要研究方向：常微分方程。

作者簡介：鄭惠清（1964-），女，廣西南寧人，工程師，會計師，主要研究方向：機械設備維修管理、液壓與氣動技術、工業企業經濟教學與研究。