形似而神更似—再讀2016高考新課標I卷理科數學第21題有感

廣州大學附屬中學(510050) 韓智明

形似而神更似—再讀2016高考新課標I卷理科數學第21題有感

廣州大學附屬中學(510050) 韓智明

備受社會廣泛關注的2016高考已經過去一段時間,然而高考背后的影響深遠,特別是首次加入全國新課標的部分省份的師生們,原先對首次使用全國卷的神秘感和緊張感隨著高考的結束也終于釋懷,而當神秘的新課標試卷面紗揭開以后,面對理科數學試卷,結果一片嘩然.回顧過去當然是更好地展望未來,更好地為新一屆高三數學備考復習起到一定的導向作用.筆者在感慨試卷整體難度的同時,不得不對制卷專家老師們的獨具匠心感到欽佩,試題在能力中體現選拔功能,在實際應用中彰顯靈活性.筆者對理科數學壓軸第21題作了認真解讀,此題雖一改以往第(I)問送分給考生發“福利”的局面,但仔細分析在第(I)問就是加強了數學中的分類討論思想的考查,雖然在某一類討論中不能輕易得出使函數取值為正的零點,但作為壓軸題得到八層分也是必須的,而在第(II)問中,從設問結構來看,就顯得簡單易懂,有一種似曾相識的感覺,究其本質其實就是平時經常訓練的函數極值點偏移問題,此題如此解讀真可謂“形似而神更似”了.

題目(2016年高考新課標I卷理科數學第21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(I)求a的取值范圍;(II)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2＜2.

解析第(I)問略;下面先給出第2問的兩種解法：

解法1由(I)的結論可知：不妨設x1＜x2,由(I)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調遞減,所以x1+x2＜2,等價于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則

所以當x＞ 1時,g′(x)＜0,而g(1)=0,故當x＞1時, g(x)＜0.從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2.

解法2由已知得：f(x1)=f(x2)=0,不難發現x1/=1, x2/=1,故可整理得：

由g(x1)=g(x2)可知x1、x2不可能在g(x)的同一個單調區間上,不妨設x1＜x2,則必有x1＜1＜x2令m=1-x1＞0,則有

g[1+(1-x1)]＞g[1-(1-x1)]?? g(2-x1)＞g(x1)=g(x2)而2-x1＞1,x2＞1,g(x)在(1,+∞)上單調遞增,因此：g(2-x1)＞g(x2)?? 2-x1＞x2,整理得：x1+x2＜2.

點評以上兩種解法通過構造一元的差函數,然后求導消參,從極值點的角度分析入手,由于極值點左右“增減速度”的不同,使函數圖像失去了對稱性,出現了極值點的左右偏移.

函數極值點偏移的釋義：若函數f(x)在x=x0時取得極值,則稱x0為函數f(x)的極值點.我們熟悉的二次函數f(x)=ax2+bx+c(a/=0)的極值點為.作直線y=h與函數y=f(x)交于A(x1,h),B(x2,h)兩點,則稱AB的中點為.對于二次函數,極值點為,此時認為極值點居中,沒有偏離中點.然而很多極值函數,由于極值點左右的“增減速度”不同,函數圖像不具有對稱性,常常有極值點的情況,出現了極值點左右偏移.

在歷年高考或高三備考模擬考試中,以此為背景的極值點偏移問題屢屢出現.由于x0、x1或x2往往不易求解,x0與的大小不便直接比較,試題難度較大,常常處在試卷的壓軸題位置,其地位顯得十分重要.

下面選取在以往高考或在高三備考中出現的有關函數極值點偏移問題的試題,通過剖析和挖掘,分析其問題解決的思想和本質,我們就不難發現2016年高考新課標I卷理科數學第21題的用心良苦了.

例1 (2016年湖北省七校2月聯考試題)已知函數.

(I)記F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)在區間(1,2)內有且僅有唯一實根;

(II)記 F(x)在 (1,2)內的實根為 x0,m(x) = min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有兩不等實根x1,x2(x1＜x2),判斷x1+x2與2x0的大小,并給出對應的證明.

解析(1)略.

(II)當0＜x≤1時,f(x)=xlnx≤0,而g(x)=＞0,故此時有f(x)＜g(x),由(1)知,

當x＞1時,F′(x)＞0,且存在x0∈(1,2)使得F(x0)= f(x0)-g(x0)=0,故1＜x＜x0時,f(x)＜g(x);當x＞x0時,f(x)＞g(x).因而

顯然當1＜x＜x0時,m(x)=xlnx,m′(x)=1+lnx＞0,因而m(x)遞增;當x＞ x0時,m(x)=,m′(x)=,因而m(x)遞減;m(x)=n在(1,+∞)有兩不等實根x1,x2,則x1∈(1,x0),x2∈ (1,+∞),顯然當x2→+∞時,x1+x2＞2x0,

下面用分析法給出證明.要證：x1+x2＞x0,即證x2＞ 2x0-x1＞ x0,而m(x)在(x0,+∞)上遞減,故可證m(x2)＜m(2x0-x1),又由m(x1)=m(x2),即證m(x1)＜m(2x0-x1),即

記

其中h(x0)=0.

即h(x)單增.從而1＜x＜x0時,h(x)＜h(x0)=0,即,故x1+x2＞2x0得證.

例2 (河南2016天一大聯考(五)第21題)已知函數f(x)=eaxlnx(a＞0,e是自然對數的底數.)

(I)若f(x)在定義域內單調遞增,求實數a的取值范圍;

解析(I)略.

點評例1第(II)問證出結果是x1+x2＞ 2x0,即要證.其中就是直線y=h(h= m(x1)=m(x2))被函數y=m(x)所截線段中點的橫坐標,不等式右邊的x0恰好是的極值點,因此本質上是證極值點左偏;例2第(II)問證,即要證,其中就是直線y=h(h=g(x1)=g(x2))被函數y=g(x)所截線段中點的橫坐標,不等式右邊的恰好是的極值點,此例本質上是證極值點右偏.

2016年高考新課標I卷理科數學第21題與以上兩個例題從形式和本質上都明顯符合極值點偏移問題,所以在平時訓練中,只要弄清解決該問題的本質策略,我們就會發現高考試題和我們平常訓練的題型不光是“形”似,有時候近乎于“神”似.

下面再看兩個例題,它們與極值點偏移問題是“形”似還是“神”似呢?

例3(2014年江蘇南通市二模第20題)設函數f(x)= ex-ax+a,a∈R,其圖像與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且x1＜x2.

命題老師給出的參考答案：

解析： (I) 略.(II)因為兩式相減得：

點評第(II)問從“形”上看,很難把它和極值點偏移問題聯系起來,從答案方法來看,中間有個過渡,顯得證明技巧很強,學生甚至是老師也覺得無從下手.結果要從轉化為證明.思路自然一時受阻,如果結合上文的2016高考題和例1、例2的處理策略就不難發現它們雖然“形”不盡似,但“神”在本質上是相似的,只不過是試題對極值點的偏移作了一些包裝.注意到不等式右邊的0就是極值點lna處的導數,即f′(lna)=0,因此也就是要證明,又因為f′(x)單調遞增,就可以轉化為證明了,顯然就是極值點右偏問題了.下面我們給出證明過程：

由F′(x)=a(ex+e-x-2)≥0,故F(x)在[0,+∞)上單調遞增.當x＞0時,F(x)＞F(0)=0,即f(lna+x)＞f(lna-x).由(I)可知x1＜lna＜x2,所以x2-lna＞0,2lna-x2＜lna.因此

例4 (2016河北省衡水中學高三下學期二調第21題)設函數f(x)=x2-(a-2)x-alnx.

(I)求函數f(x)的單調區間;

(II)若函數f(x)有兩個零點,求滿足條件的最小正整數a的值;

(III)若方程f(x)=c(c∈R),有兩個不相等的實數根x1,x2,比較與0的大小.

解析：(I)、(II)略.

試卷第 (III)問給出的解題分析：由 x1,x2是方程f(x)=c的兩個不等實根,則-(a-2)x1-alnx1=c,-(a-2)x2-alnx2=c,兩式相減,得

然后通過換元求導即可證明.試卷的參考答案對第(III)問給出的論證如下：

因為x1,x2是方程f(x)=c的兩個不等實根,由(1)知a＞0.不妨設0＜x1＜x2,則

因為t＞0,所以g′(t)≥0.當且僅當t=1時,g′(t)=0.所以g(t)在(0,+∞)上是增函數,又g(1)=0,所以當t∈(0,1)時,g(t)＜0總成立,故題得證.

點評在高三備考復習訓練中,通過消元減少變量來轉化處理的解題策略應該是深入學生心中,但其中巧妙的構造技巧和繁雜的計算量確實讓人嘆為觀止.在第(III)問中,是否還能夠找到與文中本質相同的處理策略呢?其實只要仔細比較不難發現還真有“神”似的地方.

解析通過第(I)問不難得出：當a＞0時,函數f(x)有兩個零點,且f(x)的最小值.

高考試題是歷屆高三復習備考的風向標,盡管年年迥乎異同,但其本質是靈活運用所學知識去解決數學問題,它決不是天外來客,而是蘊藏在書本中,潛伏在你平時的訓練作業里,只要你細心、留意,一定會發現高考題的來龍去脈.不管是各省市自主命題考試還是參加全國新課標考試,它一定都會成為大家熟悉的“陌生人”,正如2016年新課標理科數學壓軸題一樣,它“形”似,更是“神”似!

[1]邢友寶.極值點偏移問題的處理策略[J].中學數學教學參考, 2014(7).