關于等價無窮小代換定理及其補充

蔣銀山

摘要：等價無窮小的代換是指在極限運算過程中某些無窮小因子用其等價的無窮小來代替，已達到簡化計算的方法。

關鍵詞：等價無窮小；極限；麥克勞林公式

“等價無窮小代換法”是指在極限運算過程中某些無窮小因子用其等價的無窮小來代替，已達到簡化計算的方法。在實際計算過程中利用“等價無窮小代換法”與其它方法相結合，不失為一種行之有效的方法，但并非計算過程中所有的無窮小都能用等價的無窮小代替來進行計算。特別是在加減中一般不能用“等價無窮小代換法”而用麥克勞林公式。

一、等價無窮小代換定理及推論

為了敘述方便，以下討論中極限過程都是指同一個變量的變化過程，對于等價無窮小的代換有：

定理1：設 若 存在，則 存在，且 。

推論1：設 若 存在，則 存在，且 。

推論2：設 若 存在，則 存在，且 。

例1求

解： 時

例2求

解： 時

（這是一種典型的錯誤）

因為等價無窮小的代換在乘除中可以隨便用，加減中要慎用。那么在加減中該如何用等價無窮小的代換呢？

二、和差運算中等價無窮小代換定理

為了解決這個問題，下面對 或 中 可以分別作等價無窮小代的條件進行討論。

定理2： 且 ，則

（1）若 ，則 ；

（2）若 ，則 。

和差項并不是絕對不能用等價無窮小的代換，只須驗證條件，原則是代替后的整體與原來整體等價。

例3求

解：

例4求

解：

三、 且 ，則

（1）若 ，則 與 不等價；

（2）若 ，則 與 不等價。

此時不能用等價無窮小的代換，需用麥克勞林公式或泰勒公式。

例5：求

解： 不能用

而

例6：

解：

參考文獻：

[1]燕春霞，衛艷榮： 等價無窮小代換定理的補充[J]，濟源職業技術學院學報，2012（9）.

[2]湯家鳳，《高等數學輔導講義》[M]，中國原子能出版社，2013（2）.