橢圓內特定三角形面積問題若干解法

余依藍

提出問題：在橢圓中，我們常會碰到一類求原點和橢圓上含兩點所圍成三角形面積最大值的問題，經探索，對任意橢圓都有以下結論：

橢圓 內，原點 與橢圓上兩點 構成三角形面積最大值

法一：常規計算法

該方法通過聯立，求出 兩點間距離與 到直線 間距離，從而得到關于面積的不定方程，該方法思維量小，計算量大。具體計算中應注意號步驟中 不要簡化，保留 以構建不等式。

證明：

法二：設點法

該方法直接設出 點坐標，求出面積表達式。

關鍵在于以后如何利用 為橢圓上的動點，利用橢圓方程求出三角形面積最值。

設

解法Ⅰ：利用三角換元求最值

解法Ⅱ：利用柯西不等式求最值

法三：圓化法——將圓視為橢圓傾斜一定角度后的投影，將橢圓轉化為圓進行求解

建立新坐標系 ，使 ， ，可得 平面中平面中的橢圓 在 中投影曲線方程為 ，直線 的投影為 ，

在圓內 ，

最后，由面積投影公式可知：

∴

該方法思維量較大，但勝在計算量小，求解更直接。若在解題過程中了解這一背景及其解題方法，許多復雜的問題都能迎刃而解。