橢圓內(nèi)特定三角形面積問題若干解法

余依藍(lán)

提出問題：在橢圓中，我們常會碰到一類求原點(diǎn)和橢圓上含兩點(diǎn)所圍成三角形面積最大值的問題，經(jīng)探索，對任意橢圓都有以下結(jié)論：

橢圓 內(nèi)，原點(diǎn) 與橢圓上兩點(diǎn) 構(gòu)成三角形面積最大值

法一：常規(guī)計(jì)算法

該方法通過聯(lián)立，求出 兩點(diǎn)間距離與 到直線 間距離，從而得到關(guān)于面積的不定方程，該方法思維量小，計(jì)算量大。具體計(jì)算中應(yīng)注意號步驟中 不要簡化，保留 以構(gòu)建不等式。

證明：

法二：設(shè)點(diǎn)法

該方法直接設(shè)出 點(diǎn)坐標(biāo)，求出面積表達(dá)式。

關(guān)鍵在于以后如何利用 為橢圓上的動點(diǎn)，利用橢圓方程求出三角形面積最值。

設(shè)

解法Ⅰ：利用三角換元求最值

解法Ⅱ：利用柯西不等式求最值

法三：圓化法——將圓視為橢圓傾斜一定角度后的投影，將橢圓轉(zhuǎn)化為圓進(jìn)行求解

建立新坐標(biāo)系 ，使 ， ，可得 平面中平面中的橢圓 在 中投影曲線方程為 ，直線 的投影為 ，

在圓內(nèi) ，

最后，由面積投影公式可知：

∴

該方法思維量較大，但勝在計(jì)算量小，求解更直接。若在解題過程中了解這一背景及其解題方法，許多復(fù)雜的問題都能迎刃而解。