橢圓中的垂直問題探究

張舒陽

一、問題的提出

（衡水中學質檢）已知橢圓 的一個焦點為 ，離心率為

求橢圓 的標準方程

若動點 為橢圓 外一點，且點 到橢圓 的兩條切線相互垂直，求 的軌跡方程。

事實上，此例題不僅可以求出 點的軌跡方程，進一步研究發現，以此題為背景，可以得出一系列與橢圓有關的垂直的結論。

二、相關結果

結論1，已知橢圓 ，與圓 相切的直線 與橢圓交于 兩點。

若 則

證明：設

即為

且有

所以 由于

即為

即為

則有 ，

則

有韋達定理，整理得：

原式

所以原式：

所以

即為

結論1中可以由 推得 ，若將題干不變，可以由 推得 嗎？事實上，可以得到如下結果：

結論2：已知橢圓 ，與圓 相切的直線 與橢圓交于

兩點。若 則 （ 為 到直線 距離）

證明 設 與 軸正半軸夾角為

令

即為 ① ②

①+②：

且

故

所以

即為

所以 。該證明方法用到極坐標思想，較為新穎。

結論1，2中證明 與 相互等價，可以由此推得雙曲線中嗎？事實上，可以得到如下結果：

結論3：已知雙曲線 ，與圓 相切的的直線 與橢圓交于 兩點。若 則 （ 為 到直線 距離）

證明（1）因為

則

那么

即為

設 與 軸正半軸夾角為

則有

即為 ① ②

①+②：

即

（2）設

即為

且有

所以 由于

即為

即為

則

有韋達定理，整理得：

原式

所以原式：

所以

即為

結論1，2的證明只是關于橢圓的垂直與切線部分問題，是否可通過某個上任意一點做橢圓的兩條切線，而這兩條切線又垂直呢？答案是肯定得，事實上，又可以得到如下結論。

結論4：有橢圓 ，過圓 上任一點 做橢圓的兩條切線 交橢圓于 ，若 。則：

證明：設 ，切線為

即為

則有

所以

故

即

結論4中證明可由 推

到 ，若題干不變，

可以 由推得

嗎？事實上可以得出如下結果：

結論5 有橢圓 ，過圓 上任一點 做橢圓的兩條切線 交橢圓于 ，若 ，則：

證明：設 ，設切線為

注：巧構關于 的一元二次方程，利用韋達定理是降低證明此結論計算量的關鍵所在！

結論4，5的證明使結論1，2不再單一，從這點來說，結論也更完整了。