關(guān)于光學(xué)性質(zhì)在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的探究

張博文

摘要：在長(zhǎng)期的各科目學(xué)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)各個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科存在很多交叉之處，共同所在。本文重點(diǎn)探究物理中的光學(xué)性質(zhì)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：光學(xué)性質(zhì)；數(shù)學(xué)；應(yīng)用

一、光的折射定律在導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用。

1.1對(duì)折射定律的的說明與證明

折射定律：如圖當(dāng)光從傳播速度為 的介質(zhì) 中射入傳播速度為 的介質(zhì) 中時(shí)，有

證明如下：假設(shè)光從介質(zhì) 入射到介質(zhì) ，在兩個(gè)介質(zhì)的交界面上取一條直線 為軸，法線為 軸，再入射光線上取一點(diǎn) ，光線與兩介質(zhì)交界面交點(diǎn)為 ，在折射光線上任取一點(diǎn)由于光總是選擇耗時(shí)最短的路徑 。

由于光總是選擇耗時(shí)最短的路徑。

全程時(shí)間：

若求 最小，則其導(dǎo)數(shù)為0：

計(jì)算化簡(jiǎn)后可得：

1.2折射定律的的應(yīng)用：

例一、一艘漁艇停在距岸 處，現(xiàn)派人送信給距漁艇 外漁站，如果送信人步行每小時(shí) ，船速每小時(shí) ，問應(yīng)在何處登岸可使時(shí)間最短。

常規(guī)解法：

設(shè)在距漁站 處登岸

令

令

此時(shí) 在 之前遞減，在 之后遞增。

最 的最小值

應(yīng)在距漁站 處登岸

光學(xué)解法：

假設(shè)送信人是光，總時(shí)延最短時(shí)間路徑傳播，且光在水中介質(zhì)速度為 ，在岸上速度為 ，以岸邊為介質(zhì)分隔線，以送信人上岸處為折射點(diǎn)，

設(shè) ，如圖

光的入射角為 ，折射角為

由折射原理有：

又

答：距漁站 處最好。

二、光的反射定律在圓錐曲線中的應(yīng)用

2.1橢圓中的光學(xué)性質(zhì)的說明與證明：

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)。

證明如下：

要證明 的反射光為 只需證過 的法線 為 的角平分線即可。

設(shè) ，

易得到 為 ，令

即：

為 角平分線得證

2.2橢圓中的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用

例二、已知橢圓 過橢圓外一點(diǎn) 做橢圓的兩條加線，并切于點(diǎn) 。 分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，連接 ，求證： .

證明如下：

將 以對(duì)稱軸對(duì)稱，

作出線段

又 為兩焦點(diǎn)，假設(shè) 為一條從 發(fā)出的光線，則 為反射光線

又 三點(diǎn)共線，且

三點(diǎn)共線

且

同理可做 關(guān)于 的對(duì)稱線段，并得到 三點(diǎn)共線，且 ，

有 ，

即 ，得證。

本題若常規(guī)思考，則會(huì)有大量的斜率計(jì)算，而使用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，則可以規(guī)避計(jì)算，利用角相等等性質(zhì)結(jié)合全等；讓一道圓錐曲線題毫無計(jì)算，只做角與線斷的變形。可見光學(xué)性質(zhì)有時(shí)給我們帶來的方便。

例3，已知 是橢圓 上一動(dòng)點(diǎn) 處的切線，過 的左焦點(diǎn) 作 的垂線，求垂足 的軌跡方程。

解：作出關(guān)于直線的對(duì)稱線段 ；

在 右側(cè)上取一點(diǎn)

將折線段 看出是 點(diǎn)出發(fā)的一條光線經(jīng)過橢圓上一點(diǎn) 反射后的路徑

又

三點(diǎn)共線，且 ，

三點(diǎn)共線

為 的中點(diǎn) 又 ，

即 為 的中點(diǎn)

為三角形 的中位線

，即 點(diǎn)軌道是以 為圓心，以 為半徑的圓。

同樣，此題若常規(guī)使用參數(shù)方程求解，將會(huì)面臨大量直線聯(lián)立求解，運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。而應(yīng)用橢圓光學(xué)性質(zhì)會(huì)簡(jiǎn)單許多，再次憑借少量的線段幾何變換得出答案。

在數(shù)學(xué)中運(yùn)用物理知識(shí)給我們帶來了諸多方便，不僅僅只是文本提到的利用光學(xué)性質(zhì)規(guī)避復(fù)雜運(yùn)算，還有一些諸如糖水不等式的例子。在諸多基礎(chǔ)學(xué)科中，筆者堅(jiān)信找到他們內(nèi)在的聯(lián)系當(dāng)讓問題大大簡(jiǎn)化，這些都是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的追求。