關于光學性質在數學中應用的探究

張博文

摘要：在長期的各科目學習中，筆者發現各個基礎學科存在很多交叉之處，共同所在。本文重點探究物理中的光學性質在數學中的應用。

關鍵詞：光學性質；數學；應用

一、光的折射定律在導數題中的應用。

1.1對折射定律的的說明與證明

折射定律：如圖當光從傳播速度為 的介質 中射入傳播速度為 的介質 中時，有

證明如下：假設光從介質 入射到介質 ，在兩個介質的交界面上取一條直線 為軸，法線為 軸，再入射光線上取一點 ，光線與兩介質交界面交點為 ，在折射光線上任取一點由于光總是選擇耗時最短的路徑 。

由于光總是選擇耗時最短的路徑。

全程時間：

若求 最小，則其導數為0：

計算化簡后可得：

1.2折射定律的的應用：

例一、一艘漁艇停在距岸 處，現派人送信給距漁艇 外漁站，如果送信人步行每小時 ，船速每小時 ，問應在何處登岸可使時間最短。

常規解法：

設在距漁站 處登岸

令

令

此時 在 之前遞減，在 之后遞增。

最 的最小值

應在距漁站 處登岸

光學解法：

假設送信人是光，總時延最短時間路徑傳播，且光在水中介質速度為 ，在岸上速度為 ，以岸邊為介質分隔線，以送信人上岸處為折射點，

設 ，如圖

光的入射角為 ，折射角為

由折射原理有：

又

答：距漁站 處最好。

二、光的反射定律在圓錐曲線中的應用

2.1橢圓中的光學性質的說明與證明：

從橢圓的一個焦點發出的光線經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點。

證明如下：

要證明 的反射光為 只需證過 的法線 為 的角平分線即可。

設 ，

易得到 為 ，令

即：

為 角平分線得證

2.2橢圓中的光學性質的應用

例二、已知橢圓 過橢圓外一點 做橢圓的兩條加線，并切于點 。 分別為橢圓的左右焦點，連接 ，求證： .

證明如下：

將 以對稱軸對稱，

作出線段

又 為兩焦點，假設 為一條從 發出的光線，則 為反射光線

又 三點共線，且

三點共線

且

同理可做 關于 的對稱線段，并得到 三點共線，且 ，

有 ，

即 ，得證。

本題若常規思考，則會有大量的斜率計算，而使用橢圓的光學性質，則可以規避計算，利用角相等等性質結合全等；讓一道圓錐曲線題毫無計算，只做角與線斷的變形。可見光學性質有時給我們帶來的方便。

例3，已知 是橢圓 上一動點 處的切線，過 的左焦點 作 的垂線，求垂足 的軌跡方程。

解：作出關于直線的對稱線段 ；

在 右側上取一點

將折線段 看出是 點出發的一條光線經過橢圓上一點 反射后的路徑

又

三點共線，且 ，

三點共線

為 的中點 又 ，

即 為 的中點

為三角形 的中位線

，即 點軌道是以 為圓心，以 為半徑的圓。

同樣，此題若常規使用參數方程求解，將會面臨大量直線聯立求解，運算相當繁瑣。而應用橢圓光學性質會簡單許多，再次憑借少量的線段幾何變換得出答案。

在數學中運用物理知識給我們帶來了諸多方便，不僅僅只是文本提到的利用光學性質規避復雜運算，還有一些諸如糖水不等式的例子。在諸多基礎學科中，筆者堅信找到他們內在的聯系當讓問題大大簡化，這些都是對知識本質的追求。