導數幾種問題的分析

王炫凱

摘要：導數因其在函數研究方面的獨特作用，尤其在求函數的最值、極值、單調性等方面，非常方便、簡潔。同時，為解決函數問題提供了新的解題工具，拓寬了解題方法。以導數在函數最值及單調性中的應用與拉格朗日乘數法為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

關鍵詞：導數 函數 拉格朗日乘數法

導數是微積分的基本知識，也是近年新課改后新增的內容。導數是具有研究功能和解決實際問題的有力工具。導數可以從不同的角度衍生知識，靈活考察知識的綜合運用和解決數學問題的能力。導數與不等式、數列、函數等知識的交集命題，應用數學知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點。本文以導數在函數最值及單調性中的應用與拉格朗日乘數法為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

一、導數在求函數極值中的應用

函數中的最值問題是高中數學中一個核心問題，也是一個判斷學生數學優劣的分界點。在高中課本引入導數以前，存在許多種求函數最值的方法，但是引入導數后，許多求最值類型的題目不僅多了一種解題的思路與方法，更是一種解決問題的簡便方法。

問題分析：（1）導函數的零點并不一定就是函數的極值點.所以在求出導函數的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數的極值點。（2）若函數f（x）在區間（a，b）內有極值，那么f（x）在a，b）內絕不是單調函數，即在某區間上單調函數沒有極值。（3）對于任意給定求函數極值的題目，首先先求出其定義域，再根據定義域進行下一步計算。

二、導數在求函數單調性中的應用

導數可以判斷函數的增減性，在函數的一階導數為零的點為增減分界點，一階導數大于零，函數在有效區間內單調遞增；反之，一階導數小于零，函數在該區間內單調遞減。利用函數的單調性可以很明了的繪畫出函數的大致圖像，對函數的增減性有很強的直觀性，能夠很簡便的求出函數的單調性。下面列舉以下題目進行解答以說明導數在求增減性中的作用。對于這種超越函數求單調性一般比較復雜，尤其在引入參數后會使問題變得極其復雜。

三、拉格朗日乘數法

四、總結

導數的應用還有許多，如導數在根式曲線、對數曲線、分式曲線、指數曲線、圓錐曲線、三角曲線的應用。由于篇幅限制，關于導數這些方面的應用就不再贅述，但是導數應用所要用到的基本的思路與原理都是大同小異的。

本文著重討論了在求函數最值，函數單調性以及拉格朗日乘數法中導數的應用，事實上，導數的應用范圍何其之廣，本文提到的只是鳳毛翎角，例如在解析幾何與立體幾何中以及在向量中，都具有重要的應用。總之，雖然新課標的課程大綱將導數移至高中數學的學習，增加了高中數學課程的學習內容，但導數作為大學課程《高等數學》中微積分的學習基礎及其本身具有的實際應用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題；在單調性問題、不等式證明等問題中具有突出的實際運用性，是高中數學學習過程中的一個很好的學習工具。與此同時，導數是在各類考試中重點考察的內容，占非常大的分數比例，一般試卷壓軸題出導數的題目概率及其之高。因此，在學習導數過程中要注意理解導數的一些常規運用并且理解導數的意義，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，同時熟練的掌握導數的運用，才能在考試中發揮出理想的實力。

參考文獻：

[1]常利軍.探析導數在高中數學中的應用[J].語數外學習，2013，（05）：7+9.

[2]康麗坤.導數在數學解題中的一些應用[J].青春歲月，2012，（02）：186-187.

[3]韋洲.導數在高中數學解題中的運用[J].新課程，2014，（10）：87.