基于lingo的投資組合線性規(guī)劃策略分析

柳清源

摘要：在運(yùn)籌學(xué)中，線性規(guī)劃是一門發(fā)展迅速，應(yīng)用范圍廣泛，較為成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。在線性條件約束下，如何使目標(biāo)函數(shù)取得極值是線性規(guī)劃的研究目的。綜合各種證券的信用等級、到期年限、到期稅前收益、稅率等因素，確定投資組合方案。建模首先做出一個(gè)合理的假設(shè)，并對其做出相應(yīng)的分析，明確問題的決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，從而得出問題的基本模型。然后根據(jù)實(shí)際條件，在基本模型上做更改，運(yùn)用lingo進(jìn)行投資組合線性規(guī)劃策略分析。

關(guān)鍵詞：投資方案 目標(biāo)函數(shù) 約束條件

一、引言

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法。它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟(jì)分析、經(jīng)營管理和工程技術(shù)等方面。為合理地利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源做出的最優(yōu)決策，提供科學(xué)的依據(jù)。使用線性規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型主要有以下3個(gè)步驟：

1.列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)

2.畫出約束條件所表示的可行域

3.在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值

一般線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

證券投資者，不論是個(gè)人還是機(jī)構(gòu)，其目的主要在于獲得最大預(yù)期收益。為此，他們可以把全部資金投在一種或少數(shù)幾種收益最高的證券上，以爭取獲得最大限度的收益。但是，投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)是形影相伴、相輔相成的，高收益必然包含高風(fēng)險(xiǎn)，低風(fēng)險(xiǎn)必然包含低收益。所以，精明的投資人為避免過高風(fēng)險(xiǎn)和過低收益這兩種極端情況的出現(xiàn)。往往選擇若干證券進(jìn)行搭配。而非集中于某種證券上。本文考慮到不同證券的信用等級、到期年限、到期稅前收益、稅率差異性，適當(dāng)設(shè)置約束條件，建立一個(gè)合理的證券投資模型，使用lingo進(jìn)行多元線性規(guī)劃從而確定投資的最優(yōu)化策略。

二、問題描述

商人想對有價(jià)證券進(jìn)行一次大規(guī)模的投資，但不知道怎么可以提高的收益率，現(xiàn)可購買的有價(jià)證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示，按照國家稅率的規(guī)定，市政證券的收益不需要繳納個(gè)人所得稅，而其他證券收益需繳納50%的個(gè)人所得稅，同時(shí)，為了保證風(fēng)險(xiǎn)最小，商人還定有下列規(guī)定：

（1）政府及事業(yè)單位的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；

（2）購買的所有證券的加權(quán)信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；

（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。

（1）如果基礎(chǔ)資本是一千萬，該制定什么樣的投資策略使得收益最大化？

（2）若銀行可以提供貸款，但是貸款數(shù)目不得超過一百萬，同時(shí)利率為2.75%，又該制定什么樣的投資策略使得收益最大化？

（3）在問題一的條件下，如果市政證券A的到期稅前收益增加0.2%，該制定什么樣的投資策略使得收益最大化？如果證券的到期稅前收益減少0.2%，又該制定什么樣的投資策略使得收益最大化？

三、模型建立

（一）模型假設(shè)

（1）假定證券獲利與否只與客觀現(xiàn)實(shí)有關(guān)，排除人的主觀因素及忽略資金量的影響。證券本身的性質(zhì)，如信用等級，收益是與不隨時(shí)間改變的，也不考慮回收證券。

（2）證券的投資額可以不為整數(shù)，可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意分配投資額。

（二）問題分析

問題的目的是針對多元化投資給出一個(gè)收益最大化的建議，針對這個(gè)目標(biāo)，必須考慮目標(biāo)函數(shù)、約束條件，在滿足約束條件的情況下，盡可能最優(yōu)化分配各類證券占總資本的比例，以使得收益最大化。考慮到所有條件均為線性關(guān)系，故可以建立一個(gè)單目標(biāo)多元線性規(guī)劃的模型，求得局部最優(yōu)解。

（三）模型建立

1.目標(biāo)函數(shù)條件

（1）決策變量：設(shè)投資證券A、B、C、D、E的資金為xi （i=1，2，3，4，5）

四、模型推廣

我們建立的是一個(gè)單目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃模型，這個(gè)模型不僅僅適用于證券投資的資本配置問題，它對規(guī)劃類問題的求解都可以起到指導(dǎo)作用。

規(guī)劃問題是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。它在解決工業(yè)生產(chǎn)組織、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、組織管理人機(jī)系統(tǒng)中，都發(fā)揮著重要的作用。

本模型主要研究的是如何在證券投資資本一定情況下，正確的選擇投資策略。通過資源配置最優(yōu)化為杠桿平衡它們之間的分配關(guān)系。決策者要通過概念抽象、關(guān)系分析可將各類影響因子放入規(guī)劃模型中，可以通過相關(guān)的計(jì)算機(jī)軟件得到兼顧全局的最優(yōu)解。

本題的求解是一個(gè)典型的規(guī)劃問題，我們模型的使用范圍非常廣泛，原材料生產(chǎn)時(shí)，要顧及材料成本和時(shí)間成本；工廠選址時(shí)，要兼顧距離原料區(qū)和服務(wù)區(qū)的路程……這一類問題均能得到較好的解決。規(guī)劃模型在工業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸、工程技術(shù)、行政管理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

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