以海面質點垂向加速度為判據的白浪繪制

陳麗寧, 金一丞, 尹勇

(1.廣州航海學院 海運學院，廣東 廣州 510725； 2.大連海事大學 航海動態仿真與控制交通行業重點實驗室，遼寧 大連 116026)

以海面質點垂向加速度為判據的白浪繪制

陳麗寧, 金一丞, 尹勇

(1.廣州航海學院 海運學院，廣東 廣州 510725； 2.大連海事大學 航海動態仿真與控制交通行業重點實驗室，遼寧 大連 116026)

白浪繪制中常用海面高程、Jacobian行列式作為白浪生成的判據，但這兩種方法缺乏海洋工程相關理論的支持，繪制結果不夠逼真。針對上述問題，本文提出了以海面質點垂向加速度為判據的白浪繪制方法。推導了海面質點垂向加速度的快速傅里葉逆變換形式，并給出了以海面質點垂向加速度為變量的連續型白浪覆蓋率隨機函數，通過調整該函數的參數來控制白浪消逝的時間。實驗結果表明：用該函數計算的白浪覆蓋率均值與采用統計模型計算的白浪覆蓋率相等。將該白浪覆蓋率作為融合因子，融合白浪紋理像素顏色和海面像素顏色。本文提出的白浪繪制方法有合理的理論依據，計算量小，繪制的白浪與蒲氏風級對白浪的描述接近，幀率可以達到實時計算。

Gerstner波；海浪繪制；海浪譜；白浪；白浪覆蓋率；蒲式風級

白浪是指深水風浪破碎產生于海面附近的泡沫與水的混合物[1]。談及白浪繪制，不得不首先介紹海浪繪制。Gerstner波是實時繪制海浪的有效方法之一，廣泛應用于虛擬現實、影視娛樂、軍事、航海仿真等領域。Gerstner波是一種有限振幅波模型，用于描述無粘性、不可壓縮的重力波，計算量較小，適合大尺度海浪的實時繪制。

目前Gerstner波繪制海浪的主要研究集中在海浪譜采樣、海面網格、海面紋理映射、光照模型、船行波特效、噪聲擾動等方面。這些研究雖然提高了繪制效率、增強了繪制海浪的真實感，但缺少了對一個重要的自然現象——白浪繪制的研究。雖然有學者對白浪的繪制進行了研究，但是現有方法存在明顯的不足，如：判據缺乏海洋工程、隨機海浪等領域理論依據支持；僅提出了要繪制白浪，但未給出確切的實現方法。海浪繪制中，白浪對增強海浪的真實感具有重要作用。缺少白浪的海浪繪制方法是不完整的。

針對上述問題，本文作者提出了一種以海面質點垂向加速度為判據的白浪繪制方法。這種方法以海面質點垂向加速度為判據，并用該量計算白浪覆蓋率，用該白浪覆蓋率作為紋理融合因子進行紋理融合，實現白浪的實時繪制。本文提出的白浪繪制方法有合理的理論依據，計算量小，繪制結果令人滿意。

1 基于Gerstner波的海浪及白浪繪制的相關工作

1.1 基于Gerstner波的海浪繪制

Gerstner波用一系列的余弦波疊加來描述海浪運動。使用Gerstner波進行海浪繪制又可分為兩種方法：直接使用Gerstner波法和使用快速傅里葉變換(inverse fast Fourier transform, IFFT)形式的Gerstner波法，即IFFT Gerstner波法。直接使用Gerstner波法中，可用方向譜計算余弦波振幅，方向譜等于頻率譜和方向分布函數的乘積。IFFT Gerstner波法中，可用波數譜計算余弦波振幅。方向譜、頻率譜和波數譜均為海浪譜，三者間的關系見文獻[2]。

在海面建立笛卡兒坐標系：平面xoy為海平面，z軸垂直向上，海面質點平衡位置為(xpq,0)，xpq=(xp,yq)。根據Gerstner波模型，t時刻海面質點的位置為(xpq+λD(xpq,t),η(xpq,t))，D(xpq,t)=(Dx(xpq,t),Dy(xpq,t))為Choppy波向量，η(xpq,t)為海面質點高程，即海面質點偏離平衡位置的高度，λ≥0。直接使用Gerstner波法中，η(xpq,t)和D(xpq,t)可寫為

Nelson[3]用該方法繪制海浪，所用模型中既沒使用Choppy波，也不包含隨機相位移，繪制結果為規則波。Fournier等[4]引入了Choppy波，Choppy波使得繪制海浪波峰較為尖銳，波谷較為平坦，波形更接近于實際情況[5]。Thon等[6-7]用方向譜計算余弦波振幅，提出了有自適應能力的方向譜采樣法，并在Gerstner波中增加了隨機數，使得繪制結果為不規則波。陸續有一些優化方法用于海面網格以改進繪制效果，這些方法包括投影網格[8]、頂點聚類簡化算法[9]、細節層次(levelofdetail,LOD)網格[10-12]等。為了使得繪制海面光照更為逼真，可以采用BRDF模型[13-14]。Horvath[15]使用TMA譜構造方向譜，并在其中加入了涌浪參數，這樣可以借助Gerstner波繪制涌浪。文獻[3-15]均使用Gerstner波網格模型來繪制海面，Yuksel等[16]采用了粒子Gersnter波，通過檢測粒子與固體的碰撞模擬了船行波。

雖然直接使用Gerstner波模型比較方便，但是當余弦波數量較大時，直接疊加計算量很大。可以采用IFFT來代替直接疊加。IFFT降低了直接疊加的計算量，且并行性較強，在GPU、FPGA等并行處理器上運行效率更高。Tessendorf[17]首先使用IFFTGerstner波法，將式(1)寫為IFFT形式：

式中ε1和ε2為相互獨立的Gauss隨機數。令E表示均值，V表示方差，E(ε1)=E(ε2)=0，V(ε1)=V(ε2)=1，Ψ(kij)為波數譜。

與直接使用Gerstner波類似，IFFTGerstner波繪制的海面也可以用網格進行優化，例如與投影網格相結合的LOD網格[18]、同心圓網格[19]、多尺度IFFT網格[20-21]以及球面投影網格[22]。紋理映射技術也可以應用到IFFTGerstner波繪制的海浪，包括凹凸紋理[23]、高度圖[24]。Won等[25]使用了基于真實光照的BRDF改進海面光照效果。Cords等[26]在船體附近設置一系列粒子，通過計算粒子與海面的耦合模擬船行波。Liu等[27]用基于完全匹配層(perfectlymatchedlayers,PML)法的網格檢測海面與剛體的交互。Li等[28]提出了一種隨船運動的多級LOD網格模擬船行波，船行波參數由Verlet積分法來解算。

文獻[17-28]主要使用的波數譜為Phillips譜：

式中：APh為Phillips譜的常數，U為風速率，α為風向與x軸正方向的夾角。

雖然ΨPh(k)使用廣泛[17-28]，但相關文獻中APh的值卻未給出。本文參考P-M譜計算出APh=3.48×10-3，其風速率應為距離海面19.5 m高度處風速率，記為U19.5[29]。然而在使用ΨPh(k)及其他類型波數譜繪制海浪時均出現波幅畸變[30]。本文發現雖然文獻[17-28]雖使用了IFFTGerstner波算法，但未進行推導。于是本文進行重新推導并做了比較研究，發現式(5)、(6)遺漏了kij的離散積分域面積Δsk，繪制結果出現波形畸變，式(5)、(6)應分別改寫為[30]

1.2 白浪繪制

在海洋工程、隨機海浪等領域中，白浪生成的常用判據包括：海面質點垂向加速度、海面質點水平方向速度、波頂角等[1]。

通過以上分析，可見基于Gerstner波的海浪繪制研究主要集中在幾個方面：基本算法的提出[3-4,17]、海浪譜的采樣[6-7,15]、海面網格的優化[8-12,18-22]、紋理映射[24-25]、海面光照模型[13-14,25]、固液耦合及船行波[16,26-28]，而白浪繪制的研究相對較少，主要集中在IFFT Gerstner波法中。繪制中常用的白浪生成判據包括：海面高程、Jacobian行列式、海面質點垂向加速度。

由于海面高程可由式(2)直接獲得，Grindstad等[31]用海面高程來檢測白浪的生成，即認為高程超過門限值即生成白浪。該方法的優點是簡單，計算量小；主要問題是所用白浪生成判據缺少海洋工程等領域的理論依據支持，高程門限值也未給出，且繪制結果與實際情況差異較大。

Tessendorf指出[17]，當λ較大時，在波峰附近會出現海面網格自相交，自相交區域的Jacobian行列式為負，可認為網格自相交區域的海浪發生破碎，因此建議用Jacobian行列式作為生成白浪的判據。Jacobian行列式寫為

計算Jxx、Jyy、Jxy均需進行IFFT，即計算一次J(xpq,t)，需要進行三次IFFT。

Wang等[32]用Jacobian行列式檢測波浪發生破碎的位置，并實現了飛濺特效。Dupuy等[33]用Jacobian行列式計算白浪覆蓋率，將白浪覆蓋率用于海面光照計算，進而繪制白浪。Dupuy等[33]的方法具有以下優點：1)可以用Jacobian行列式檢測出波峰附近的海面網格自相交區域，將其作為白浪生成的位置；2)用Jacobian行列式計算白浪覆蓋率，在海面光照模型中使用白浪覆蓋率實時繪制白浪，繪制的白浪有濃淡。雖然這種方法有一定的效果，但存在幾點不足：1)計算量較大，計算一次Jacobian行列式需要進行3次IFFT；2)以Jacobian行列式為判據，缺少海洋工程、隨機海浪領域的理論依據支持，繪制的白浪與實際情況差異較大；3)穩定性不佳[34]。雖然存在上述不足，但在海面光照模型中使用白浪覆蓋率的方法將白浪覆蓋率和紋理融合進行有機結合，在一定程度上改善了白浪繪制的結果，這是非常值得借鑒的。因此本文也考慮在海面光照計算中使用白浪覆蓋率，但計算白浪覆蓋率所用的參量應為海洋工程、隨機海浪等領域中可作為白浪生成判據的物理量。

在深水中，當波陡達到極限狀態，波面不足以維持而導致破碎發生，產生白浪[35-36]。然而波陡的直接觀測很困難[37]，因此可用其他相關物理量代替波陡作為白浪生成的判據。當波陡達到極限狀態時，海面質點垂向加速度超過某一值，因此可用海面質點垂向加速度作為白浪生成的判據[35-36]。Schwenger等[38]提出用海面質點垂向加速度為判據繪制白浪，遺憾的是未給出具體實現方法。

2 基于海面質點垂向加速度的白浪繪制

本節首先推導了海面質點垂向加速度的IFFT形式。進而提出了白浪繪制中白浪覆蓋率的連續型隨機函數，該隨機函數以海面質點垂向加速度為變量，通過調整函數的參數，可控制白浪消逝的時間。將該白浪覆蓋率作為融合因子融合白浪紋理像素顏色和海面像素顏色，實現白浪的實時繪制。

2.1 海面質點垂向加速度的計算

令az(xpq,t)為海面質點垂向加速度，則

根據省耕地質量監測實施方案的要求，堅持“四統一”原則進行耕地質量監測點的建設。監測點選擇在生產管理方法及水平與當地大面積生產相同或相似的地方，省級監測點設4個處理小區，即：長期無肥區、當季無肥區、常規施肥區、測土配方施肥區。常規施肥區面積不小于333.4 m2，長期無肥區、當年無肥區、測土配方施肥區面積為66.7 m2。長期無肥區和測土施肥區用水泥做成永久性隔離小區，小區進水口位于進水渠上游。其余小區用塑料薄膜嵌入地下做成防滲漏的田埂來隔離。當年無肥區在監測點田塊內活動輪換，5年以上輪換一次[1]。

為了快速計算出az(xpq,t)，可考慮將其整理為IFFT形式。首先將式(12)寫為復數形式：

參照文獻[30]，可將式(13)寫為IFFT形式：

因此，通過IFFT可實時計算az(xpq,t)，且計算一次az(xpq,t)，只需要進行一次IFFT，計算az(xpq,t)所需的計算量遠遠小于第1節介紹的計算Jacobian行列式J(xpq,t)的計算量。

2.2 白浪繪制中的白浪覆蓋率計算

白浪覆蓋面積所占觀察面積(充分大)的比例稱為白浪覆蓋率[1]，可視為一個統計特征。海洋工程上的白浪覆蓋率有兩種計算方式：經驗公式計算和統計模型計算。

用航拍、雷達等工具對海浪進行觀測，對觀測數據進行分析、擬合，可得到白浪覆蓋率的經驗公式，該類經驗公式的參數常包含風速。常用的經驗公式包括[39-41]：

式中：We為由經驗公式計算的白浪覆蓋率，U10與U19.5的關系為U10=0.901 6U19.5。

白浪覆蓋率還可以用統計模型計算。即用相關海浪參數的概率密度函數的定積分計算。在海洋工程和隨機海浪理論中，可用海面質點垂向加速度az作為判據檢測白浪的生成，認為az≤-βg時海浪會發生破碎，生成白浪，其中β=0.4[36]。由式(12)可知，az服從正態分布，E(az)=0，V(az)=m4，m4為4階譜矩。則以az為判據的通過統計模型計算白浪覆蓋率為[36]

當風參數一定，We和Waz均為定值。

在繪制白浪時，文獻[38]把白浪覆蓋率作為一隨機值，將計算所得的白浪覆蓋率作為融合因子來融合白浪紋理像素顏色和海面像素顏色。這使得繪制的白浪有濃淡變化，改進了白浪的繪制效果，本文借鑒了這一思路。令C為經紋理融合后的海面像素顏色：

式中：CF為不含白浪的海面像素顏色，CW為白浪紋理像素的顏色，WR為計算所得的白浪覆蓋率，為隨機值。在計算WR時，有幾點需要考慮：1)WR隨機函數的變量應為海洋工程、隨機海浪等領域中可作為白浪生成判據的物理量, 這樣計算所得的WR具合理的理論依據；2)該物理量便于實時計算，對繪制幀率影響較小；3)應使E(WR)與海洋工程中的白浪覆蓋率接近，這樣繪制白浪的面積隨風參數的變化而變化，以較為準確的反映風參數對白浪的影響。基于上述考慮，可用az作為WR隨機函數的變量，首先用階躍形式的隨機函數計算WR：

其中β=0.4。式(25)可保證E(WR)=Waz。將式(25)用于白浪繪制，則白浪生成、消逝過快，且沒有濃淡變化，繪制結果不理想。因此考慮使用連續隨機函數計算WR，這樣使得繪制的白浪生成、消逝較慢，具有一定的延續性，有濃淡變化，繪制結果較為逼真。令WR的連續型隨機函數為

式中：α1∈(0,β),α2∈(β,),β1=1/ln(α2/α1)。式(26)中，用α1、α2控制az值域邊界，當az∈(-α2g,-α1g)時，用az計算的WR的值連續；β1將WR限制在0～1。圖1為WR的曲線。E(WR)=Waz可進一步寫為

圖1 白浪繪制中白浪覆蓋率曲線Fig.1 Curve of whitecap coverage in whitecap rendering

為了便于計算，可令α1為定值，根據α1解算出相應的α2和β1。由于難以從式(28)中解算出α2的精確解，因此用優化算法計算α2的最優解。使用標準遺傳算法(standardgeneticalgorithm,SGA)來計算α2，目標度函數為

表1為SGA的參數，表2為解算出的α1、α2和β1的值。α1越小，α2-α1越大，式(26)中f1(az)的域越寬，白浪消逝的時間越長。SGA較為耗時，本文的方法中SGA采用離線計算，對幀率沒有影響。

表1 SGA參數

表2 SGA解算出的α1、α2和β1(β=0.4)Table 2 α1, α2 and β1 computed by SGA (β=0.4)

2.3 海面像素顏色的融合

在白浪繪制中，用式(24)融合了海面像素顏色和白浪紋理顏色，融合因子為白浪覆蓋率WR。WR用式(26)的連續型隨機函數計算。采用本文方法繪制的白浪，生成、消逝有一定的延續性，有濃淡變化，可以較為準確的反映風參數對白浪的影響。

3 實驗結果

蒲氏風級劃分了風力等級，并給出了每級風對應的海面情形，在航海、氣象等領域應用廣泛。表3為蒲氏風級。在計算Phillips譜常數時，參照了P-M譜。實測P-M譜的U19.5約為10～20m/s，對應蒲氏5～7級風。圖2為采用本文方法的繪制結果。圖2中繪制的海面共有17×17個面片，每個面片尺寸為512m×512m，IFFT網格數量為256×256，在IntelCore(TM)i5-4460CPU、4GB內存、GeforceGTX660GPU的機器上，繪制幀率為70幀/s。

圖2 本文方法的繪制結果Fig.2 Rendering results of the method raised by the paper

表3 蒲氏風級(5～7級風)

4 實驗結果的比較與分析

將繪制結果與實拍海面照片和蒲氏風級進行比較。圖3為實拍海面照片[42]。從圖2可以看出，隨著風速率的增加，本文方法繪制海面的白浪覆蓋變大，白浪的形狀發生變化。在5級風時，繪制的白浪偶爾出現；在6級風時，繪制白浪的面積更大；在7級風時，繪制白浪的形狀沿風成條。顯然，本文方法的繪制結果與實拍海面照片接近，與蒲氏風級中的描述一致。圖4為文獻[33]方法的繪制結果，與實際拍攝海面差異較大。圖5為文獻[31,38]方法的繪制結果，圖5(a)和實際拍攝海面差異也較大，圖5(b)與本文繪制結果接近，但文獻[38]未給出具體實現方法。圖6為使用式(19)～(22)計算的白浪覆蓋率。從圖6中可見，E(WR)與經驗公式數值接近，即本文繪制的海浪的白浪覆蓋率均值與實際觀測白浪覆蓋率均值接近。

圖3 實拍海面照片Fig.3 Photos of actual sea surface

圖4 文獻[33]方法的繪制結果Fig.4 Rendering results of the method in reference [33]

圖5 文獻[31,38]方法的繪制結果Fig.5 Rendering results of reference [31,38]

圖6 白浪覆蓋率曲線Fig.6 Curves of whitecap coverage

5 結論

基于Gerstner波模型的白浪繪制通常采用海面高程、Jacobian行列式作為白浪生成的判據，但這兩種方法缺乏海洋工程領域的相關理論依據，繪制結果不夠逼真。針對上述問題，提出了一種以海面質點垂向加速度為判據的白浪繪制方法。該方法的主要特點包括： 1)以海面質點垂向加速度為判據，具有海洋工程領域的理論依據； 2)給出了白浪覆蓋率的隨機函數，該函數以海面質點垂向加速度為變量，將白浪覆蓋率作為融合因子融合泡沫紋理與海浪像素紋理； 3)通過調整該隨機函數的參數，可以控制白浪消逝的時間。用本文方法繪制的白浪與實拍海面照片中的白浪較為接近，符合蒲氏風級的描述，計算量較小。

雖然本文繪制的白浪繪制已經取得一定的效果，但還可以嘗試從以下幾方面對繪制結果進行進一步改善： 1)嘗試使用逐像素過濾的方式改進繪制效果； 2)嘗試使用曲面細分著色器對海面幾何體網格進行進一步細分，使得繪制結果更為精細，并保持較高的繪制幀率；3)在白浪生成位置增加粒子，模擬飛濺；4)白浪的生成會產生能量的損失，本文的方法未考慮能量的損失，因此，下一步工作應考慮生成白浪引起的能量損失。另外，目前大尺度海浪繪制主要集中在深水風浪，而對于涌浪、混合浪繪制的研究則較少。因此，下一步還可以考慮開展大尺度涌浪、混合浪繪制的研究。

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Whitecap rendering with vertical acceleration of sea surface particles as criterion

CHEN Lining1, JIN Yicheng2, YIN Yong2

(1.School of Navigation, Guangzhou Maritime University, Guangzhou 510725, China; 2.Key Laboratory of Marine Dynamic Simulation & Control for Ministry of Transport, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China)

In whitecap rendering, the height field and Jacobian determinant of the sea surface are considered as criteria for whitecap generation. However, both these methods lack theoretical basis for ocean engineering, and the rendering results are not realistic enough. To solve these problems, this paper presents a whitecap rendering method with vertical acceleration of sea surface particles as a criterion. Herein, the inverse fast Fourier transform form of the vertical acceleration was deduced, the random function of whitecap coverage was provided with the vertical acceleration of sea surface particles as a criterion, and the time of whitecap decay was controlled by changing the parameters of this random function. Experimental results show that the mean value of the whitecap coverage computed by the random function equals to that computed by the statistical model. The whitecap coverage computed by the random function is used as a blending factor to blend the pixel colors of the whitecap texture and sea surface. The presented method has sound theoretical basis, and its computational complexity is small. The rendered whitecap accords with the description in the Beaufort scale, and the frame rate can be real time computed.

Gerstner wave; ocean wave rendering; wave spectrum; whitecap; whitecap coverage; Beaufort scale

2016-02-23.

日期：2017-01-12.

國家高技術研究發展計劃(2015AA016404)；中央高校基本科研業務經費項目(3132013302).

陳麗寧(1981-)，男，講師； 金一丞(1944-)，男，教授，博士生導師； 尹勇(1969-)，男，教授，博士生導師.

陳麗寧，E-mail: lnchen1981@163.com.

10.11990/jheu.201603011

TP391

A

1006-7043(2017)03-0363-08

陳麗寧, 金一丞, 尹勇. 以海面質點垂向加速度為判據的白浪繪制[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2017, 38(3):363-370.

CHEN Lining，JIN Yicheng，YIN Yong. Whitecap rendering with vertical acceleration of sea surface particles as criterion[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3):363-370.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170112.1100.002.html