帶翼緣剪力墻有效翼緣寬度的解析解與簡化公式

王斌, 史慶軒, 何偉鋒

(1.西安建筑科技大學 土木工程學院，陜西 西安 710055；2.中色科技股份有限公司蘇州分公司，江蘇 蘇州 215000)

帶翼緣剪力墻有效翼緣寬度的解析解與簡化公式

王斌, 史慶軒, 何偉鋒

(1.西安建筑科技大學 土木工程學院，陜西 西安 710055；2.中色科技股份有限公司蘇州分公司，江蘇 蘇州 215000)

為了研究高層建筑結構中帶翼緣剪力墻有效翼緣寬度的取值，本文基于能量變分原理，推導了剪力墻翼緣截面正應力的解析表達式，并依據(jù)應力等效原則計算了彈性階段有效翼緣寬度的解析解。采用有限元方法對一組T形截面剪力墻進行了參數(shù)化分析，描述了有效翼緣寬度隨加載過程的變化規(guī)律。通過引入無量綱剪滯系數(shù)β定量描述了剪滯效應隨不同設計參數(shù)的變化規(guī)律。根據(jù)有限元計算結果，擬合出了不同受力階段剪滯系數(shù)的經(jīng)驗計算式，考慮邊界條件的約束構造出了描述正應力分布的曲線函數(shù)，進而推導出不同受力階段有效翼緣寬的簡化計算公式。通過與有限元計算結果的比對驗證了簡化公式的準確性，為工程設計提供參考。

帶翼緣剪力墻；剪滯效應；解析解；能量變分原理；有效翼緣寬度；簡化計算;剪力墻

結構布置時，矩形墻肢通常被組合成了箱形、T形、工字形等帶翼緣剪力墻形式。而這類構件在受橫向荷載作用時，由于受到翼緣剪切變形影響，翼緣端部的正應力勢必小于翼緣與腹板交界處，產(chǎn)生剪力滯后現(xiàn)象[1]。剪滯效應的存在不但會減小構件的承載力和有效剛度，同時會增大翼緣與腹板交界處的正應力，不利于構件抗震性能的發(fā)揮。目前各國規(guī)范通過引入有效翼緣寬度來考慮剪滯效應的影響。但各國規(guī)范對有效翼緣寬的取值差異較大，并且取值方法相對粗糙，所以有必要尋求一種具有一定工程精度的有效翼緣寬度計算方法，在保證計算簡便的同時，又能在計算公式中體現(xiàn)出不同設計參數(shù)的影響。

目前常見的有效翼緣寬度的計算方法主要有彈性解析法[2-5]、基于試驗數(shù)據(jù)的經(jīng)驗法[6-9]、基于規(guī)范取值的改進法[10]以及基于剪滯效應的量化計算和截面應力分布的半理論半經(jīng)驗法[11]。解析法所得公式較為繁瑣，不便于工程應用。經(jīng)驗法和改進法又很難保證結果的精確性和廣泛適用性，半理論半經(jīng)驗法在確保有效翼緣寬度取值精確性和理論性的同時，所得公式也相對簡化。

國內(nèi)外對剪滯效應影響下正應力的分布及有效翼緣寬度的研究主要集中在箱形梁、組合梁、框架梁、框筒結構以及核心筒結構[12-16]，而對于工程中常見的T形截面帶翼緣剪力墻的研究卻很少涉足。本文采用解析法對彈性階段有效翼緣寬度進行求解；采用半理論半經(jīng)驗法對彈塑性階段有效翼緣寬度的表達式進行推導計算，并采用放大系數(shù)法推導了承載力極限狀態(tài)下的有效翼緣寬度。

1 彈性階段有效翼緣寬度的解析解

1.1 變分方程的推導

在應用最小勢能原理分析帶翼緣剪力墻受彎撓曲問題時，因為翼緣截面剪切變形的存在，需要引入兩個廣義位移：剪力墻的水平側移w(x)和縱向位移u(x,y)來描述構件的變形：

w=w(x)

(1)

(2)

式中：b為一側翼緣凈寬度，ha為翼緣中心截面到形心軸的距離，u(x)為翼緣最大剪滯轉角，其具體定義見圖1。式(2)是郭金瓊[2]提出的修正位移函數(shù)，即假定翼緣的縱向位移沿橫向為三次拋物線分布。

根據(jù)最小勢能原理，結構在外力作用下處于平衡狀態(tài)時，當產(chǎn)生虛位移時，其總位能的變分為零：

(3)

其中，剪力墻的外力勢能為

(4)

腹板部分仍采用平截面假定，只考慮其彎曲應變能，而翼緣則考慮縱向纖維的正應變和剪應變，腹板應變能為

(5)

翼緣應變能為

(6)

其中

(7)

(8)

將式(2)代入式(7)、(8)，可得：

(9)

(10)

(11)

圖1 翼緣縱向位移意圖Fig.1 Longitudinal displacement of flange

將各部分相加可得體系總勢能：

(12)

將式(12)代入式(3)，即可得到剪力滯基本微分方程：

(13)

(14)

(15)

整理式(13)～(15)，并令

(16)

可得到關于翼緣最大剪滯轉角u(x)的二階常微分方程：

(17)

求得其通解：

(18)

式中：c1、c2可由邊界條件確定，u*為與Q(x)有關的特解。

1.2 應力及有效翼緣寬度的求解

對于剪力墻頂部受一水平集中力的情況，將邊界條件代入式(18)，可求得翼緣最大剪滯轉角：

(19)

又因為翼緣截面正應力分布函數(shù)為

(20)

將式(2)、(19)代入式(20)，可得

(21)

由式(13)可得

(22)

代入式(21)即可得到翼緣截面正應力分布函數(shù)表達式：

(23)

在墻肢底部x=l處，即剪力墻剪滯效應最顯著截面的正應力為

(24)

從圖1可以看出，在y=b時，應力達到最大值σmax，即

(25)

根據(jù)應力等效原則，剪力墻有效翼緣寬度可按下式計算：

(26)

將式(25)、(26)代入式(27)，即可得到彈性階段帶翼緣的解析解：

(27)

式(27)經(jīng)積分化簡可得

(28)

由文獻[17]中剪滯效應的參數(shù)分析可知，該式基本考慮了有效翼緣寬度取值的所有影響因素，可認為，該解析解是彈性階段有效翼緣寬度的精確解。但該式需要計算的參數(shù)較多，計算量偏大，不便于工程設計的應用。因此還需進一步研究有效翼緣寬度的簡化計算方法。

2 彈性階段有效翼緣寬度的數(shù)值計算

2.1 模型驗證

為了驗證有限元模型的合理性，采用非線性有限元分析軟件ABAQUS模擬了文獻[18]中RC剪力墻TW2的擬靜力加載試驗。采用塑性損傷模型模擬混凝土的非線性行為。混凝土受壓本構選用Saenz[19]提出的表達式，受拉本構選用文獻[20]的表達式。混凝土采用8節(jié)點、6面體線性非協(xié)調模式三維實體單元-C3D8I。考慮到本文的研究對象為截面應變，故在翼緣厚度方向劃分四個單元，長度及高度方向單元長度取0.5倍的墻厚，以保證塑性鉸區(qū)內(nèi)應力分布的準確性和連續(xù)性。模擬加載時，采用位移控制模式單調加載，墻體底部也與一剛性體板相連接，約束其全部六個自由度。

圖2給出了試驗骨架曲線與模擬單調荷載位移曲線對比圖，可見模擬結果與試驗基本吻合。圖3比較了試驗中測量的翼緣外皮混凝土壓應變與有限元計算所得應變，可以看出試驗數(shù)據(jù)與模擬結果均顯示混凝土壓應變在腹板翼緣交界處達到最大，驗證了所建立的有限元模型及參數(shù)選取的準確性。2.2 剪滯效應分析與計算

將上述試驗模型進行簡化，所用材性與試驗相同。以翼緣寬度與腹板高度比(a/b)、墻高與翼緣寬度比(H/b)、墻高與翼緣寬度比(H/a)作為模型參數(shù)，對15個不同幾何參數(shù)下的剪力墻模型進行有限元分析，具體的幾何參數(shù)及彈性階段計算結果見表1。

圖2 試驗與模擬荷載-位移曲線Fig.2 Load-displacement curves of experiment and simulation

圖3 翼緣混凝土壓應變分布Fig.3 Concrete compressive strain distribution of flange

模型a∶b∶H剪滯系數(shù)β模型a∶b∶H剪滯系數(shù)β13∶1∶50.17991∶1∶200.02023∶1∶100.104101∶2∶50.29333∶1∶200.038111∶2∶100.13342∶1∶50.145121∶2∶200.04652∶1∶100.075131∶3∶50.44262∶1∶200.029141∶3∶100.21971∶1∶50.133151∶3∶200.12481∶1∶100.056

考慮到進一步研究剪滯效應的需要，本文引入無量綱剪滯系數(shù)β來定量描述剪滯效應。圖4給出了剪滯效應影響下翼緣截面的正應力分布及剪滯系數(shù)β的定義。可以看出正應力σ在翼緣中部達到最大值σmax，向兩側σ逐漸遞減，剪滯系數(shù)β的引入就是來定量描述翼緣端部正應力的減小程度，剪滯效應較小時β趨于0，剪滯效應明顯時β趨于1。

由有限元分析結果可知，剪滯效應沿墻肢高度方向逐漸衰減，并在墻肢底部達到最大，因此選取翼緣底部混凝土單元的正應力作為研究對象，不同位置處正應力取墻體厚度方向的四個混凝土單元形心處的正應力之和。由表1可以看出，剪滯系數(shù)β的大小主要依賴于墻高與翼緣寬度比 (H/b)的變化，隨著H/b的減小，剪滯系數(shù)β相應增大。分析其原因是墻肢高度H越小，剪跨比越小，剪力墻的破壞形態(tài)從彎曲型向剪切型轉化，從而正應力在翼緣的傳遞過程中產(chǎn)生的剪切變形增大，使得翼緣端部傳遞到的正應力較翼緣與腹板交界處有很大程度的減少。而翼緣寬度b的增大使得翼緣截面正應力的傳遞路線增長，在剪力傳遞過程中正應力衰減程度增大，剪滯效應增強。

圖4 剪滯系數(shù)定義Fig.4 Definition of shear lag coefficient

腹板高度與翼緣寬度比(a/b)對剪滯系數(shù)也有影響，當a=b時，β達到最小；當a/b>1或a/b<1時，β增大，并且a與b相差越懸殊β值越大。然而相比墻高與翼緣寬度比，腹板高度與翼緣寬度比對β的影響較小，因此在β值的計算中可忽略a/b的影響。取相同H/b時不同a/b有限元計算出的β的平均值，來擬合β與H/b的關系曲線，擬合結果見圖5。比較不同類型函數(shù)的擬合結果，同時考慮計算的簡便性，發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)與計算結果吻合較好，可得到如下彈性階段β值的經(jīng)驗計算式：

β=0.74(H/b)-1.01

(29)

圖5 彈性階段剪滯系數(shù)與墻高與翼緣高寬比關系曲線Fig.5 Curve for shear lag coefficient versus height/flange width ratio in elastic stage

2.3 有效翼緣寬度的簡化計算

Kwan[11]曾提出用四次多項式來描述核心筒翼緣截面的正應力分布。根據(jù)本文有限元計算出的正應力分布曲線，同時考慮邊界條件的約束，發(fā)現(xiàn)五次多項式能較好的吻合有限元計算結果，可以得到如下的應力分布函數(shù)表達式：

(30)

式中：x=0時，即位于翼緣與腹板交界處，正應力達到最大值σmax；當x=b/2時，即位于翼緣端部，正應力達到最小值(1-β)σmax，這一結果與圖5有關剪滯系數(shù)的定義相一致。

根據(jù)應力等效原則，有效翼緣寬度可按式(26)計算。考慮到正應力σx在翼緣左右兩側對稱分布，即be是關于x的偶函數(shù)。因此可將式(26)簡化為

(31)

再將構造出的應力分布函數(shù)表達式(30)代入式(31)：

(32)

式(32)經(jīng)過積分化簡可得

be=b-0.83bβ

(33)

將之前擬合出的剪滯系數(shù)β的經(jīng)驗計算式(29)代入式(33)。即可得到彈性階段有效翼緣寬度的簡化計算公式：

be0=b-0.62b(H/b)-1.01

(34)

因此，在設計計算中，只要知道了墻高H與翼緣截面寬度b，就可以通過上式來計算有效翼緣寬度。這相比規(guī)范中查表所得的結果的準確性更高。同時式(34)只需要通過計算器計算即可得到有效翼緣寬度，確保了在實際設計計算中應用的可行性。

2.4 彈性階段有效翼緣寬度取值對比

為了比較解析法與有限元法計算結果的差異性，將彈性階段兩者計算出的有效翼緣寬度值列于表2。可以看出兩者的差值基本在10%以內(nèi)，進一步驗證了有限元法的準確性。同時發(fā)現(xiàn)解析解基本均大于有限元計算值，這首先是因為是解析法假定應力分布為三次拋物線形狀，而有限元計算出的應力分布曲線更接近于五次多項式，所以解析法一定程度上低估了剪滯效應。其次解析法不僅忽略了腹板中的剪滯效應，同時在計算中忽略了翼緣橫向和豎向應變(εy,εz)以及平面外剪切變形(γxz,γyz)，所以解析解與有限元計算值存在一定偏差。

表2 解析法與有限元法計算結果對比

Table 2 Comparison of the analytical method and the finite element method

模型a∶b∶H解析法/m有限元法/m誤差值/%13∶1∶50.9230.8507.9823∶1∶100.9610.9125.1633∶1∶200.9800.9681.3142∶1∶50.9210.8774.8352∶1∶100.9560.9372.3562∶1∶200.9800.9760.4371∶1∶50.9220.8913.4281∶1∶100.9610.9530.7591∶1∶200.9800.983-0.29101∶2∶51.6481.5158.11111∶2∶101.8191.7821.87121∶2∶201.9061.925-1.01131∶3∶52.2191.91513.68141∶3∶102.5822.4694.39151∶3∶202.7832.6753.89

3 塑性階段有效翼緣寬度的數(shù)值計算

3.1 有效翼緣寬度隨荷載的變化

目前各國規(guī)范中有效翼緣寬度的取值都是基于線彈性的分析結果，適用于計算正常使用極限狀態(tài)下剪力墻剛度和變形。而由文獻[17]可知有效翼緣寬度在加載過程中是不斷變化的，通過對帶翼緣剪力墻剪滯效應的全過程模擬，圖6給出了有效翼緣寬度隨加載過程的變化規(guī)律。

圖6 有效翼緣寬度隨加載過程的變化Fig.6 Variation of effective flange width along loading

可以看出剪力墻屈服時有效翼緣寬度達到最小，為工程設計的最不利情況。為了給結構中的關鍵部件和薄弱部位留有一定的安全儲備，有必要推導剪力墻屈服時有效翼緣寬度的簡化計算公式。而在計算剪力墻承載力時，需要用相應的承載能力極限狀態(tài)下的有效翼緣寬度進行分析，因此還需推導出承載力極限狀態(tài)下有效翼緣寬度的簡化計算公式。

3.2 剪力墻屈服時有效翼緣寬度的簡化計算

沿用彈性階段的數(shù)值計算方法，對15組不幾何同參數(shù)的剪力墻進行非線性有限元分析。表3給出了剪力墻屈服時的有限元計算結果。

表3 屈服時有限元分析結果

由表3可以看出，剪力墻屈服時翼緣剪滯系數(shù)β的大小同樣主要依賴于墻高與翼緣寬度比值(H/b)的變化，取相同H/b時不同a/b有限元計算出的平均值，來擬合β與H/b的關系曲線，擬合結果見圖7。發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)與有限元計算結果吻合較好，從而可以得到以下剪力墻屈服時β值的經(jīng)驗計算式：

β=0.85(H/b)-0.46

(35)

屈服時有限元計算出的正應力分布曲線仍然可用2.3節(jié)構造出的五次多項式來表示。將本節(jié)擬合出的屈服時剪滯系數(shù)β的經(jīng)驗計算式(35)代入式(33)，即可得剪力墻屈服時即工程最不利情況下有效翼緣寬度的簡化計算公式：

bey=b-0.71b(H/b)-0.46

(36)

圖7 屈服時剪滯系數(shù)與墻高與翼緣高寬比關系曲線Fig.7 Curve for shear lag coefficient versus height/flange width ratio at yield

3.3 承載力極限狀態(tài)下有效翼緣寬度的簡化計算

由3.1節(jié)全過程分析可知，在極限狀態(tài)下翼緣截面的應力分布不再符合圖5所示的典型分布，3.2節(jié)所采用的方法不再適用。而由前述分析可知極限狀態(tài)下有效翼緣寬度相比彈性階段有所提高，故本節(jié)將采用基于彈性階段有效翼緣寬度的放大系數(shù)法來計算承載力極限狀態(tài)下的有效翼緣寬度。表4給出了15組不同參數(shù)下承載力極限狀態(tài)的有效翼緣寬度值相對于彈性階段取值的放大系數(shù)。

表4 承載力極限狀態(tài)下有效翼緣寬度放大系數(shù)

Table 4 Amplification coefficient of effective flange width at ultimate limit state

模型a∶b∶H放大系數(shù)γ模型a∶b∶H放大系數(shù)γ13∶1∶51.03891∶1∶201.01123∶1∶101.024101∶2∶51.20233∶1∶201.007111∶2∶101.04942∶1∶51.036121∶2∶201.02952∶1∶101.021131∶3∶51.23762∶1∶201.009141∶3∶101.13371∶1∶51.044151∶3∶201.02781∶1∶101.026

從表4可以看出，放大系數(shù)γ值主要依賴于墻高與翼緣寬度比(H/b)的變化，取相同H/b時不同a/b的放大系數(shù)的平均值，來擬合γ與H/b的關系曲線，擬合結果見圖8，發(fā)現(xiàn)分段線性函數(shù)擬合效果較好，可得到承載力極限狀態(tài)下γ的經(jīng)驗計算式：

(H/b≤5)

(H/b≥5)

(37)

圖8 承載極限狀態(tài)放大系數(shù)與翼緣高寬比關系曲線Fig.8 Curve for amplification coefficient versus height/flange width ratio at ultimate limit state

代入式(32)即可得到承載力極限狀態(tài)下有效翼緣寬度的簡化計算公式：

beu=γbe0

(38)

4 計算結果驗證

為了驗證本文所推導出的有效翼緣寬度簡化計算公式的準確性，運用上述簡化計算公式計算出的不同參數(shù)下有效翼緣寬度的取值，與有限元計算結果進行比較，比較結果見表5。可以看出，本文提出的簡化計算公式與有限元計算結果吻合良好，最大誤差絕對值基本控制在10%以內(nèi)，充分驗證了簡化計算公式的精確性，可為工程設計提供參考。

表5 計算結果對比

5 結論

1)基于能量變分原理，采用解析法推導了剪力墻翼緣截面的正應力分布，進一步計算了彈性階段有效翼緣寬度的解析解。

2)采用有限元法對一組帶翼緣剪力墻進行了參數(shù)分析，發(fā)現(xiàn)剪滯系數(shù)β的大小主要依賴于墻高與翼緣寬度比值的變化，隨著其比值的減小，剪滯系數(shù)β增大。在腹板高度與翼緣寬度相等時，剪滯系數(shù)β達到極小值。

3)根據(jù)有限元計算結果，擬合出了剪滯系數(shù)的經(jīng)驗計算式。并推導出了彈性階段和剪力墻屈服時有效翼緣寬的簡化公式，采用放大系數(shù)法推導了承載力極限狀態(tài)下有效翼緣寬度的簡化公式，通過與有限元結果的比對驗證了簡化公式的準確性。

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Analytical solution and simplified formulas for effective flange width of flanged shear walls

WANG Bin1, SHI Qingxuan1, HE Weifeng2

(1. School of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China; 2. Suzhou Branch, China Nonferrous Metals Processing Technology Co., Ltd., Suzhou 215000, China)

To study the effective flange width of flanged shear walls in high-rise buildings, in this study, we derive an analytical expression for normal stress in the flange section of a shear wall using the energy variational method, then we derive an analytical solution for determining the effective flange width in the elastic stage based on the stress equivalent principle. We perform a parametric analysis for T-shaped shear walls using the finite element (FE) method in order to discuss the change laws of effective flange width along with the loading process and quantitatively describe the variation of the shear lag effect for different parameters by introducing the dimensionless shear lag coefficientβ. Based on our FE calculation results, we fitted the empirical formulas of the shear lag coefficients and derived the curve function for describing the normal stress distribution by considering the constraint of boundary conditions. We then obtained simplified calculation formulas for the effective flange width at different loading stages. In a comparison with the finite element calculation results, we verified the accuracy of these simplified formulas, which can provide a reference for project design.

flanged shear walls; shear lag effect; analytical solution; energy variational principle; effective flange width; simplified calculation; shear wall

2015-10-15.

日期：2017-01-11.

國家自然科學基金項目(51478382,51608434).

王斌(1988-), 男, 博士研究生； 史慶軒(1963-), 男, 教授, 博士生導師.

王斌，E-mail：shanxiwangbin@126.com.

10.11990/jheu.201510039

TU398

A

1006-7043(2017)03-0404-08

王斌,史慶軒,何偉鋒.帶翼緣剪力墻有效翼緣寬度的解析解與簡化公式[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2017, 38(3): 404-411.

WANG Bin, SHI Qingxuan, HE Weifeng.Analytical solution and simplified formulas for effective flange width of flanged shear walls[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3):404-411.

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