非保守系統的Lagrange方程

周平, 梁立孚

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；3. 黑龍江科技大學 機械工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022)

非保守系統的Lagrange方程

周平, 梁立孚

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；3. 黑龍江科技大學 機械工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022)

如何將Lagrange方程應用于連續介質動力學，一直是學術界關注的理論課題。如何將Lagrange方程應用于非保守連續介質動力學的問題的研究難度更大。本文應用Lagrange-Hamilton體系，非保守系統的Lagrange方程是非保守系統的Hamilton型擬變分原理的擬駐值條件，成功地將Lagrange方程應用于非保守連續介質動力學。進而應用非保守系統的Lagrange方程推導出非保守連續介質動力學的控制方程，為研究非保守連續介質動力學開辟了一條新的有效途徑。

連續介質動力學；Lagrange方程；非保守系統；擬變分原理；擬駐值條件；Lagrange-Hamilton體系

非保守系統的Lagrange方程的研究涵蓋了許多學科，是一個相當重要的研究領域。對于非保守系統, Leipholz提出了廣義自共軛的概念，建立了廣義的Hamilton原理，給出了著名的Leipholz桿模型，在非保守系統變分原理方面進行了開創性研究[1-4]。我國學者通過發展Leipholz的研究，并發揚國內對廣義變分原理研究的優勢，在伴生力系統的前提下，建立了非保守系統的余能原理，進而建立了關于彈性理論非保守系統的一般變分原理[5]。文獻[6]從虛功原理出發，建立了非保守系統的有限變形彈性擬變分原理；文獻[7]基于非線性彈性理論三類共軛變量對應的6種基本方程，建立了12種互相有聯系的非保守動力體系的擬廣義變分原理；文獻[8]建立了非線性彈性理論變分原理的統一理論；文獻[9]給出并證明了微極彈性動力學中非保守力場問題的幾種擬變分原理，其結果還可以推廣到非局部彈性介質和非局部微極彈性介質力學中去。文獻[10]從泛能量泛函出發，提出了非線性彈性理論靜、動力學的非保守問題的統一變分原理——泛變分原理。文獻[11]建立了非保守系統自激振動的擬固有頻率變分原理。文獻[12]研究了非保守系統的擬變分原理的靜態和動態穩定性問題。但是，關于如何將Lagrange方程應用于非保守系統連續介質動力學的文獻極少。

梁立孚等系統地研究了非保守系統彈性(動)力學的擬變分原理[13-15]；研究了非保守系統剛體動力學的擬變分原理[16]；研究了非保守系統分析力學的擬變分原理[17]。文獻[18-19]將非保守系統的擬變分原理推廣應用于航天動力學中去，實現了質點剛體力學與變形體力學的耦合，能夠解決航天動力學中的一些重要問題。經過多年研究的積累，逐步形成一部專著[20]。專著[20]中已經注意到，在經典分析力學中非保守系統的Lagrange方程是保守系統的Lagrange方程加上非保守廣義力項。

本文采用Lagrange-Hamilton體系，對于保守系統，Lagrange方程是Hamilton原理的駐值條件；對于非保守系統，Lagrange方程是Hamilton型擬變分原理的擬駐值條件。本文根據這一結論，分別論述了非保守剛體動力學、非保守彈性動力學和粘彈性動力學的Lagrange方程，并應用Lagrange方程推導非保守彈性動力學和粘彈性動力學的控制方程。

1 非保守系統分析動力學的Lagrange方程

非保守分析動力學兩類變量的擬Hamilton原理：

δΠH2-δQH=0

(1)

其中

以下推導擬Hamilton原理的擬駐值條件。為此， 將式(1)寫成展開形式：

δΠH2-δQH=

(2)

考慮到:

(3)

可得

(4)

進行分部積分：

(5)

將式(5)代入式(4)，按慣例在時域邊界t=t0和t=t1處取δq=0，可得

(6)

由于δq的任意性，故由式(6)可得非保守分析動力學兩類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件為

(7)

可見，非保守分析動力學兩類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件即為非保守分析動力學兩類變量的Lagrange方程。

非保守分析動力學一類變量的擬Hamilton原理：

δΠH1-δQH=0

(8)

其中

應用類似方法，可得非保守分析動力學一類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件為

(9)

可見，非保守分析動力學一類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件即為非保守分析動力學一類變量的Lagrange方程。

2 非保守系統剛體動力學的Lagrange方程

如果認為導致剛體運動的力為保守的廣義力F和非保守廣義力FN，保守的廣義力矩M和非保守廣義力矩MN，即作用于質心的主矢為F和FN， 而主矩為M和MN，則非保守系統剛體動力學的擬Hamilton原理表示為

δπH1-δQH=0

(10)

式中

M·θ+FN·Xc+MN·θ)dt

其中, 系統的動能為

(11)

系統的勢能為

U=-F·Xc-M·θ

(12)

系統的擬勢能為

Uq=-FN·Xc-MN·θ

(13)

系統的余虛功為

(14)

應用對合變換，可將剛體動力學的擬Hamilton原理變換為

δπH2-δQH=0

(15)

式中

M·θ+FN·Xc+MN·θ)dt

其中, 系統的動能為

(16)

系統的勢能為

U=-F·Xc-M·θ

(17)

系統的擬勢能為

Uq=-FN·Xc-MN·θ

(18)

系統的余虛功為

(19)

其先決條件為

(20)

以下通過推導剛體動力學的擬Hamilton原理的擬駐值條件，得到其Lagrange方程。為此，將式(15)寫成展開形式δπH2-δQH=

FN·δXc+MN·δθ)dt=0

(21)

先決條件的變分式為

(22)

將式(22)代入式(21)，可得

δπH2-δQH=

(23)

應用Green定理(分部積分)，考慮到轉動慣量張量的對稱性，則有

(24)

(25)

將式(24)、(25)代入式(23)，并且按慣例在時域邊界t=t0和t=t1處，取δXc=0，δθ=0，可得

δπH2-δQH=

(26)

由于δXc，δθ的任意性，故由上式可得擬駐值條件為

(27)

(28)

這就是非保守系統剛體動力學兩類變量的Lagrange方程。

如果將先決條件(20)代入式(27)、(28)，可得

(29)

(30)

這就是非保守系統剛體動力學一類變量的Lagrange方程。

由以上分析可見，對于質點剛體動力學，非保守系統的Lagrange方程等于保守系統的Lagrange方程加上非保守廣義力。需要說明一下，這里的相加一般指的是代數相加。

3 非保守系統彈性動力學的Lagrange方程

3.1 推導非保守系統彈性動力學的Lagrange方程

非保守系統彈性動力學兩類變量的擬Hamilton原理：

δΠH2-δQH=0

(31)

式中:

其先決條件為

=0, 在V內

(32)

(33)

(34)

將式(32)、(34)代入式(31)，可得

δΠH1-δQH=0

(35)

式中:

其先決條件為式(33)。這就是非保守系統彈性動力學一類變量的擬Hamilton原理。其中，系統的動能為

(36)

系統的勢能為

(37)

系統的擬勢能為

(38)

非保守系統的余虛功為

(39)

以下通過推導擬Hamilton原理的擬駐值條件得到Lagrange方程。為此，將式(35)寫成展開形式：

δΠH1-δQH=

(40)

進行分部積分

(41)

將式(41)代入式(40)，按慣例在時域邊界t=t0和t=t1處取δu=0，并且考慮到位移邊界條件的變分式δu=0，可得

(42)

因為

(43)

故有

(44)

由于δu的任意性，故由式可得非保守彈性動力學一類變量的Lagrange方程：

(45)

用類似的方法可以推導出非保守系統彈性動力學兩類變量的Lagrange方程，不贅述。

3.2 應用Lagrange方程推導非保守系統彈性動力學的控制方程

非保守系統線性彈性動力學的動能可以表示為

(46)

線性彈性動力學的勢能可以表示為

(47)

非保守系統線性彈性動力學的擬勢能和余虛功可以表示為

(48)

(49)

位移邊界條件為

u-ū=0

(50)

Lagrange方程表示為

(51)

推導計算Lagrange方程中的各項：

(52)

勢能變導項的推導較為復雜：

(53)

(54)

(55)

應用Green定理，并考慮到式(50)，可得

(56)

將相關各式代入Lagrange方程，可得

(58)

脫去積分號，可得非保守彈性動力學控制方程：

u+u):a]-f-fN=0

(59)

(60)

先決條件為式(50)。

應用類似方法，可得非保守彈性動力學兩類變量的控制方程：

·ε:a-f-fN=0

(61)

ε:a·n-T-TN=0

(62)

由以上分析可見，對于連續介質動力學，當作用非保守體積力和面積力時，“非保守系統的Lagrange方程等于保守系統的Lagrange方程加上非保守廣義力”的論述原則上是正確的，但是非保守體積力和面積力均取積分形式。

4 粘彈性動力學的Lagrange方程

粘彈性動力學的本構方程由彈性和粘性兩部分組成，彈性部分服從廣義胡克定律，粘性部分服從廣義牛頓粘性定律。彈性部分的問題，在上一節中已得到解決；粘性部分的問題與粘性流體力學的問題相類似，由于本文作者較好的解決了Lagrange方程應用于粘性流體動力學的問題，這里應用同樣的方法來解決粘彈性動力學中粘性部分的問題。應用Kelvin模型，粘彈性本構關系(μ為粘性系數)表示為

σ=a:ε+μ(v+v)(兩類變量)

(63)

(一類變量)

(64)

需要說明一下，在工程應用中，多數文獻給出粘彈性本構關系的簡化形式。本文屬于基礎理論研究，這里給出的是粘彈性本構關系的一般表達式。

非保守系統粘彈性動力學兩類變量的擬Hamilton原理：

δΠH2-δQH=0

(65)

式中

其先決條件為

=0， 在V內

(68)

(69)

(70)

將式(68)、(70)代入式(65)，可得

δΠH1-δQH=0

(71)

式中:

(72)

(73)

其先決條件為式(69)。這就是非保守系統粘彈性動力學一類變量的擬Hamilton原理。其中，系統的動能為

(74)

系統的勢能為

(75)

將粘性阻力引起的流體剪切應力視為非保守廣義力，表示為τN=μ(vq+vq)，則系統的擬勢能為

(76)

非保守系統的余虛功為

(77)

參照第3節的論述，通過推導擬Hamilton原理的擬駐值條件得到粘彈性動力學一類變量的Lagrange方程：

(78)

用類似的方法可以推導出非保守系統粘彈性動力學兩類變量的Lagrange方程，不贅述。

同樣，參照第3節的論述，可以應用粘彈性動力學的Lagrange方程推導出粘彈性動力學的控制方程：

(79)

(80)

應用類似方法，可得非保守粘彈性動力學兩類變量的控制方程：

·[ε:a+μ(v+v)]-f-fN=0

(81)

[ε:a+μ(v+v)]·n-T-TN=0

(82)

由以上分析可見，對于連續介質動力學，當同時作用非保守體積力和面積力與非保守內應力時，“非保守系統的Lagrange方程等于保守系統的Lagrange方程加上非保守廣義力”的論述原則上是正確的，但是非保守體積力和面積力與非保守內應力均取積分形式。

5 結束語

本文采用Lagrange-Hamilton體系，對于保守系統，Lagrange方程是Hamilton原理的駐值條件；對于非保守系統，Lagrange方程是Hamilton型擬變分原理的擬駐值條件。借助于Hamilton型擬變分原理推導出Lagrange方程，并且應用連續介質動力學的Lagrange方程推導其控制方程。論文涉及質點剛體動力學、非保守系統彈性動力學和粘彈性動力學，可以說較全面地解決了將Lagrange方程應用于非保守系統動力學的問題。

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Lagrange equation of non-conservative systems

ZHOU Ping1，3, LIANG Lifu2

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. College of Aerospace and Civil Engineering Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 3. College of Mechanical Engineering, Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin 150022, China)

How to apply the Lagrange equation to continuum dynamics has always been a theoretical subject in the academic field. How to apply the Lagrange equation to the problem of non-conservative continuum dynamics is even more difficult. The Lagrange equation of non-conservative systems is a quasi-stationary condition for the Hamiltonian quasi-variational principle of non-conservative systems using the Lagrange-Hamilton system. In this paper, the Lagrange equation was successfully applied to non-conservative continuum dynamics. Then, the governing equations of non-conservative continuum dynamics were deduced by the Lagrange equation of non-conservative systems, which opens up a new effective way of studying non-conservative continuum dynamics.

continuum dynamics; Lagrange equation; non-conservative system; quasi-variational principle; quasi-stationary condition; Lagrange-Hamilton system

2016-06-07.

日期：2017-01-11.

國家自然科學基金項目(10272034).

周平(1978-), 女, 副教授； 梁立孚(1939-), 男, 教授,博士生導師.

梁立孚，E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201606026

O313

A

1006-7043(2017)03-0452-08

周平, 梁立孚.非保守系統的Lagrange方程 [J]. 哈爾濱工程大學學報, 2017, 38(3):452-459.

ZHOU Ping, LIANG Lifu. Lagrange equation of non-conservative systems[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3):452-459.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170111.1509.040.html