外嚙合珩齒的間齒嚙合過程分析

于渤, 石照耀, 林家春, 劉暢

(北京工業大學 北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京 100124)

外嚙合珩齒的間齒嚙合過程分析

于渤, 石照耀, 林家春, 劉暢

(北京工業大學 北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京 100124)

為了研究間齒珩齒加工方法中的空間間齒嚙合過程，將該過程分為標準漸開螺旋面嚙合過程和頂刃嚙合過程。基于空間幾何學和嚙合原理，本文分別建立兩個嚙合過程的三維模型，得到各過程的接觸點，以及兩個齒面上接觸點的對應關系。根據跳牙蝸桿與齒輪的幾何關系，提出了確定各個過程分界點的方法。以具體參數的跳牙蝸桿與齒輪為例，對齒面上各個過程的接觸點跡線進行三維仿真，并繪制接觸點跡線上不同位置的相對速度曲線圖，針對相對速度的大小和方向進行了分析，為間齒珩齒加工機理的研究奠定基礎。繪制了整體誤差單元曲線，與實體求交法對比，完全吻合，驗證了該模型的正確性。

間齒嚙合；三維仿真；相對速度；齒輪整體誤差；珩齒加工；頂刃嚙合

硬齒面齒輪具有承載能力強、耐磨性好和體積小等特點可以很好的滿足車用齒輪箱中所使用齒輪的要求，其加工成為了當今齒輪制造業的熱點問題[1]。硬齒面加工方式主要包括滾齒、插齒、剃齒、刮齒、磨齒和珩齒等[2]，其中，珩齒加工是一種前沿性的加工方法，適用于加工直齒輪、斜齒輪及內外齒圓柱齒輪，能在一定程度上改善齒廓形狀和螺旋線精度[3]，有利于降低齒輪傳動產生的噪聲，同時使表面殘余壓應力提高，從而增加齒輪的耐磨性和使用壽命[1,4]。

珩齒可分為外嚙合珩齒和內嚙合珩齒。主流的珩齒技術是內嚙合珩齒，珩磨環和工件有更大重合度[5]，修正能力比外齒珩磨輪要強。內嚙合珩齒設備價格高，推廣有難度。外嚙合珩齒機床結構簡單、造價低，其應用不廣的主要原因是產生中凹齒形。外嚙合珩齒加工，重合度大于1，因此存在單嚙區和雙嚙區，導致加工過程中珩削力也是變化的，這就導致了外嚙合珩齒加工中產生中凹齒形。為了解決這個問題，石照耀團隊提出了基于間齒嚙合原理的外嚙合珩齒加工方法[6]。

間齒嚙合原理是伴隨著整體誤差測量技術而提出的。20世紀70年代，黃潼年[7]提出了整體誤差測量技術。張兆龍等[8]設計了一種具有三種齒的特殊標準齒輪用來進行齒輪測量，其中也用到了間齒嚙合過程。FRENCO公司的Pommer[9]利用高于齒面的軌跡線設計了標準齒輪，提出了用于齒輪高速測量的RollScan技術。何鳳寶等[10]將間齒嚙合原理拓展到剃齒領域，糾正了齒形中凹。石照耀等[11]考慮成對齒輪的使用，提出了基于齒輪副整體誤差的齒輪動力學模型。石照耀等[12]利用實體求交算法，在三維空間中，繪制了整體誤差單元曲線。雖然有關齒輪嚙合模型的研究不勝枚舉。李特文[13]對齒輪嚙合理論進行了大量的研究，不僅研究了標準圓柱齒輪、錐齒輪和面齒輪的三維嚙合模型，還對修形齒輪的嚙合過程進行建模分析。隨后，不少學者在此基礎上繼續研究，完成特殊形狀齒輪的嚙合過程建模。但目前缺乏關于間齒嚙合原理三維模型的研究。

本文為齒輪嚙合原理補充了間齒嚙合原理的內容。運用空間幾何學，建立了整個間齒嚙合過程的三維模型，該模型可用于計算接觸點的位置、接觸點處的相對速度和計算整體誤差單元曲線等。根據實際接觸過程的幾何關系，給出了計算分界點的方法。

1 間齒嚙合原理

以整體誤差測量為例，說明間齒嚙合原理。整體誤差測量采用測量蝸桿與被測齒輪嚙合來實現齒輪的測量，測量蝸桿與傳統測量蝸桿不同的是，該測量蝸桿只保留一頭作為測量功能使用，對其他頭進行減薄，使它們在測量過程中不參與嚙合，如圖1。在整體誤差測量整個過程中，保證只有一個齒接觸，這一個齒的完整嚙合過程就是間齒嚙合過程。

二維間齒嚙合全過程分為三個過程：齒輪頂刃嚙合過程(K1K2)、標準漸開線嚙合過程(K2K3)和齒條頂刃嚙合過程(K3K4)[6]，如圖2。與二維情況相同，三維間齒嚙合過程同樣分為上述三個過程，不同的是參與嚙合的元素由平面曲線變成了空間曲面。在這三個過程中，兩個頂刃嚙合過程具有相似性，可以按照相同的嚙合過程研究。

圖1 跳牙蝸桿Fig.1 Tooth-skipped worm

圖2 間齒嚙合過程Fig.2 Tooth-skipped meshing process

2 漸開螺旋齒面模型

齒面模型是研究空間嚙合原理的基礎，嚙合過程中的一些特殊性質都是通過對特定齒面模型研究而獲得的。對于不同類型的齒面模型的建立，李特文等[13-14]都進行了深入的研究，建立適合自己研究內容的對應齒面方程形式，并獲得了嚙合過程中的特殊性質。為了更好地研究間齒嚙合原理，本文也建立了符合本研究的齒面模型形式。

漸開螺旋齒輪和漸開線蝸桿的齒面都是漸開螺旋面，它是由一根與基圓柱相切，并且與軸線有固定夾角的直線沿著基圓柱滾動而形成的空間曲面，如圖3所示。根據空間幾何學可知，2個變量可以確定一個空間曲面，與其他學者建立齒面的思路相似，本文也采用2個變量建立漸開螺旋面方程，其中一個變量為軸向位置z，另一個變量為θ角，θ角是漸開線展開角與壓力角的和。θ角可以確定某一軸向位置的端截面上的齒形形狀，z可以確定該端截面齒形對應的軸向位置。通過這兩個變量，可以確定齒面上的兩條特征線，當z取固定值時，得到一條漸開線狀齒形線，即為θ線；當θ角固定時，得到一條螺旋線，即為z線，該螺旋線以θ角處齒面上點到軸線的距離為半徑，導程與漸開螺旋面的導程相同。

圖3 漸開螺旋面模型Fig.3 Model of the involute helicoid

圖3中M點為漸開螺旋面上任意一點，根據空間幾何關系，該點的位置為

r=OE+EF+FM=xi+yj+zk

(1)

其中

x=OEcos(τ+μ+θ)+FMsin(τ+μ+θ)=rbcos(τ+μ+θ)+θrbsin(τ+μ+θ)

y=OEsin(τ+μ+θ)-FMcos(τ+μ+θ)=rbsin(τ+μ+θ)-θrbcos(τ+μ+θ)

z=EF=z

式中：rb為基圓柱半徑，τ為該齒面對應的位置角。在ΔAEC內可以確定tanβb=rb/p，p為導程，βb為基圓螺旋角，因此μ=ztanβb/rb。

如果考慮齒輪嚙合過程中的轉角φ，漸開螺旋面方程可表示為

(2)

其中，αt=τ+ztanβb/rb+θ+φ。

空間曲面上一點處任意兩個不共線的切向量的叉乘可以得到該點的法向量，因此漸開螺旋面的法向量可以由下式：

(3)

3 間齒嚙合接觸點計算

為了更好地研究間齒嚙合過程，建立了對應的空間坐標系，如圖4所示。S1(O1-X1,Y1,Z1)和S2(O2-X2,Y2,Z2)分別是與蝸桿和齒輪固連的運動坐標系，Z1和Z2分別與蝸桿和齒輪的軸線重合。Sc(Oc-Zc,Zc,Zc)和Sg(Og-Zg,Zg,Zg)分別是蝸桿和齒輪的靜止坐標系，Zc和Zg分別與蝸桿和齒輪的軸線重合。λ為蝸桿與齒輪軸線的軸交角，ro1和ro2分別為蝸桿和齒輪的分度圓半徑。

圖4 空間嚙合坐標系Fig.4 Coordinates of the space meshing process

3.1 標準漸開螺旋面嚙合過程

標準漸開螺旋面嚙合過程就是交錯軸漸開螺旋齒輪嚙合過程。在這個過程中，蝸桿與齒輪以固定傳動比勻速轉動。由李特文的研究可知，接觸點處的法線，即嚙合線，通過工作節圓柱切點T[13]，如圖5所示。因此，在蝸桿中有

(4)

式中：(xTc,yTc,zTc)為T點在坐標系Sc中的坐標，(xn1c,yn1c,zn1c)為蝸桿在接觸點處齒面法向的方向向量，xTc=ro1，yTc=0，zTc=0。式(4)中存在兩個等號，第一個等號可以得到

cos(τ1+μ1+θ1+φ1)=rb1/ro1

(5)

圖5 嚙合線Fig.5 Action line

由式(4)的第二個等號可以得到

θ1-tanαt1=μ1cot2βb1

(6)

將兩個等號所得到的方程組成方程組：

(7)

解方程組(7)可以得到

(8)

將式(8)代入齒面方程(2)中，可以得到單個漸開螺旋面接觸點方程為

(9)

式(9)只能得到單個漸開螺旋面上接觸點，并不能明確兩個曲面上接觸點的對應關系。為了得到兩個齒面之間的關系，需要將兩個齒面聯合考慮，在齒面接觸點處有以下性質：

(10)

通過化簡式(10)，可以得到

φ1rb1cosβb1+φ2rb2cosβb2=

rb1cosβb1(αt1-tanαt1)+rb2cosβb2(αt2-tanαt2)

(11)

式(11)揭示了轉角φ1和φ2之間的關系，除了轉角φ1和φ2以外，其他參數都是常量，對時間求導，可以得到dφ1/dφ2=rb2cosβb2/rb1cosβb1，即漸開螺旋面嚙合過程中，蝸桿和齒輪以固定傳動比轉動。

最終，通過式(9)、(11)可以確定該過程漸開螺旋面上接觸點跡線及其對應關系。

3.2 頂刃嚙合過程

在間齒嚙合原理中，兩個齒輪在嚙合過程中存在頂刃嚙合過程。設蝸桿轉動為主動運動，那么齒輪頂刃嚙合過程發生在標準漸開螺旋面嚙合之前，此過程中齒輪的齒頂在蝸桿的齒面上刮行。蝸桿頂刃嚙合過程發生在標準漸開螺旋面嚙合之后，此過程中蝸桿的齒頂在齒輪的齒面上刮行。齒輪或蝸桿的齒頂為一條螺旋線，螺旋線半徑為齒頂圓半徑，那么頂刃嚙合過程實際上是一條螺旋線與漸開螺旋面嚙合的過程[15]，如圖6。本節以齒輪頂刃嚙合過程為例，建立模型，蝸桿頂刃嚙合過程與此相同。首先要建立蝸桿的齒面模型和齒輪的齒頂螺旋線模型，齒面模型在第2節中已經給出。

在坐標系S2中，建立齒輪的齒頂螺旋線方程：

(12)

將式(12)轉化到坐標系Sc中，可得

(13)

其中，ξ2=τ2+z2tanβb2/rb2+θa2-αa2+φ2，其切向量可表示為

(14)

由于漸開螺旋面與螺旋線在某一點相切，那么在這一點應該滿足以下條件：

(15)

式(2)、(14)代入式(15)中，得到

(16)

式(16)中的未知量為z1、θ1、φ1、z2、φ2，當給定轉角φ2時，可以確定對應的其他未知量，從而得到頂刃嚙合過程接觸點坐標。

4 分界點分析

圖7 二維間齒嚙合過程的分界點Fig.7 Demarcation points of 2-D tooth-skipped meshing process

間齒嚙合的每個過程都存在分界點，整個過程中共有4個分界點：齒輪頂刃嚙合過程起始點、漸開螺旋面嚙合過程起始點、漸開螺旋面嚙合過程終止點和蝸桿頂刃嚙合過程終止點。可將這四個點分為兩類，一類是標準漸開螺旋面嚙合過程起始點，另一類是頂刃嚙合過程起始點。蝸桿漸開螺旋面嚙合過程起始點與齒輪漸開螺旋面嚙合過程終止點是對應的，蝸桿漸開螺旋面嚙合過程終止點與齒輪漸開螺旋面嚙合過程起始點是對應的。同理，頂刃嚙合過程的起始終止點也是相同的對應關系，因此只要給出計算頂刃嚙合過程起始點和漸開螺旋面嚙合過程起始點的方法，就可以獲得蝸桿和齒輪嚙合的四個分界點。蝸桿的四個分界點的轉角為φ11、φ12、φ13和φ14，齒輪的四個分界點轉角為φ21、φ22、φ23和φ24，根據以上的分析，可以得到當蝸桿轉到φ11、φ12、φ13和φ14時，齒輪對應轉到φ24、φ23、φ22和φ21，圖7為二維間齒嚙合過程分界點對應圖[6]，三維間齒嚙合過程對應關系與此相同。4.1 標準漸開螺旋面嚙合過程起始點

蝸桿的漸開螺旋面嚙合過程起始點對應的是齒輪的齒頂剛剛進入漸開螺旋面嚙合過程，此位置同時具有漸開螺旋面嚙合過程和頂刃嚙合過程的特征。在頂刃嚙合過程中，有θ2=θa2。在漸開螺旋面嚙合過程中，式(8)對于與蝸桿嚙合的齒輪同樣成立，只是參數的腳標改為2，將θ2=θa2代入到式(8)的第2個等式中，可以得到齒輪漸開螺旋面嚙合過程終止點轉角：

φ23=(αt2cos2βb2-θa2+tanαt2sin2βb2)/cos2βb2

已知轉角φ23與蝸桿漸開螺旋面嚙合過程起始點轉角φ12是對應的，第3.1節中的式(11)表示了轉角φ1和轉角φ2之間的關系。因此，將φ23代入到式(11)可以得到轉角φ12。

同理，可以求出蝸桿漸開螺旋面嚙合過程終止點轉角φ13與齒輪漸開螺旋面嚙合過程起始點轉角φ22。

4.2 頂刃嚙合起始點

與整體誤差測量中所使用的測量蝸桿相同，跳牙蝸桿可以選用2頭、3頭或者更多頭數，本文以頭數為3的跳牙蝸桿為例進行研究，其第2頭和第3頭為減薄齒以確保在嚙合過程中不與齒輪接觸。

如圖7所示，當蝸桿從φ11轉到φ14的同時，齒輪則從φ24轉到φ21，嚙合過程中，蝸桿與齒輪分別轉動了3個齒，因此

(17)

(18)

在齒輪頂刃嚙合過程起始點處，式(16)成立。在齒輪頂刃嚙合過程終止點處，需要將式(16)中參數的腳標1、2對調，得到另一個方程組。將這2個方程組與式(17)和式(18)聯立，得到一個具有10個方程的新方程組，同時也具有10個未知數，因此可以求解得到所有未知數，包括φ11、φ14、φ21和φ24。

5 間齒嚙合三維仿真

為了更好地了解間齒嚙合過程，本節以具體參數的蝸桿和齒輪為例，進行間齒嚙合三維仿真。仿真中所使用的模型為前文所建立的三維模型，采用C++語言編程對模型進行求解，然后將其結果進行顯示。實例中所用蝸桿和齒輪參數見表1。該仿真實例主要展示了三個內容：1)繪制間齒嚙合過程齒面接觸點跡線圖，清晰地顯示三維間齒嚙合過程接觸點軌跡，得到運動規律；2)接觸點相對速度圖，顯示了間齒嚙合過程中，接觸點處的相對速度大小和方向；3)整體誤差單元曲線圖，與其他方法對比，驗證了模型正確性。

5.1 齒面接觸點跡線

利用C++語言編程，對上文建立的間齒嚙合三維模型進行求解，可以獲得齒面接觸跡線的離散坐標，將這些坐標值導入到仿真軟件，繪制三維圖，便可以得到齒面接觸點跡線。

圖8為齒輪齒面的接觸點跡線圖。位于齒面中部，占接觸點跡線主要部分的是標準漸開螺旋面嚙合過程的接觸點跡線。齒頂部分為齒輪頂刃嚙合過程的接觸點跡線，由于整個過程中只有齒輪的齒頂參與嚙合，因此接觸點全部位于齒頂，這也是頂刃嚙合這個名字的由來，這個過程可以用于齒輪加工過程中的齒頂倒棱工序。位于齒根部分，與標準漸開螺旋面嚙合過程接觸點跡線有一定夾角的跡線為蝸桿頂刃嚙合過程的接觸點跡線，這一過程表示間齒嚙合過程中，在完成了標準漸開螺旋面嚙合過程后，接觸點反向移動，從齒面齒根開始向齒頂移動，有效的利用該過程，可以進行齒根部分的修形加工。

表1 蝸桿與齒輪參數

圖8 齒輪齒面接觸點跡線Fig.8 Trail of the contact point on the flank of the gear

圖9為蝸桿齒面的接觸點跡線圖，與圖8相比較，由于接觸點跡線過長，并不容易看出規律，但是實際上，蝸桿齒面上接觸點跡線的規律與齒輪齒面上的跡線規律相同。

5.2 相對速度

計算接觸點處兩個齒面的相對速度有助于間齒珩齒機理的研究。通過相對速度的方向可以確定磨削截面的位置，并且兩個齒面在接觸點處沿著相對速度方向的分量比值可用于G. Wener磨削力模型來計算接觸點處的磨削力[16]。

圖9 蝸桿齒面接觸點跡線Fig.9 Trail of the contact point on the flank of the worm

圖10 相對速度Fig.10 Relative speed

在整個間齒嚙合過程中，蝸桿與齒輪都是時刻接觸的，因此，給定其中一個元素的運動規律，另一個元素的運動也是確定的。設定蝸桿以角速度1 000 r/min轉動，由于間齒嚙合并非標準漸開螺旋面嚙合，其整個嚙合過程中，對應齒輪的轉速也就不是勻速轉動，根據第3節的模型可以建立蝸桿與齒輪之間的轉速關系。在此基礎上，可以得到同一接觸點在蝸桿和齒輪上的速度，也就獲得了接觸點處的相對速度，如圖10。由于實例為蝸桿和齒輪傳動，因此相對速度沿著軸向的分量遠大于沿著端面漸開線切線方向的速度分量，在圖10中并不能明顯的顯示出相對速度方向，圖11(b)更好地說明了相對速度方向。

圖11展示了整個過程中接觸點相對速度大小和方向。圖11(a)是在齒輪齒面上，接觸點相對速度大小與半徑的關系。標準漸開螺旋面嚙合過程中，從齒根到齒頂，相對速度逐漸減小；蝸桿頂刃嚙合過程中，相對速度大小基本恒定；齒輪頂刃嚙合過程中，距離標準漸開螺旋面嚙合過程越遠，相對速度越大。圖11(b)是接觸點相對速度和θ線夾角與半徑的關系。虛線為分度圓位置，該位置相對速度方向為z線的切線方向，其他位置速度方向以分度圓為界限，分別指向齒頂和齒根。根據這個現象采用間齒珩齒加工齒輪可以在齒面上形成交叉網紋，交叉網紋有利于提高齒輪傳動質量[17]。但是間齒珩齒加工形成的網紋之間的夾角非常小，接近于平行線紋理，可以通過改變跳牙蝸桿狀珩磨輪的參數來增加網紋之間的夾角。

圖11 相對速度曲線Fig.11 Curve of the relative speed

5.3 齒輪整體誤差單元曲線

間齒嚙合原理起源于齒輪整體誤差測量技術，該模型可以建立整體誤差單元曲線。整體誤差單元曲線是整體誤差測量過程中的理論曲線，每一個齒在間齒嚙合過程中都對應著一條單元曲線。單元整體誤差曲線實際上是一個齒進行間齒嚙合過程中的傳動誤差曲線，滿足：

Δφ2=φ2-φ1Z1/Z2

利用本文中的空間間齒嚙合模型建立的單元整體誤差曲線如圖12所示，與實體求交法[12]獲得的單元整體誤差曲線進行對比，兩者完全吻合，實體求交法得到的曲線長于本文方法得到的曲線，這是因為實體求交法并沒有計算分界點，計算的角度超過了分界點，在實際間齒嚙合過程中，這部分曲線是不存在的。

圖12 齒輪單元整體誤差曲線Fig.12 Gear integrated error unit curve

6 結論

1) 將間齒嚙合過程分為標準漸開螺旋面嚙合過程和頂刃嚙合過程，通過空間幾何學和嚙合原理，分別建立了兩個過程的三維模型。根據跳牙蝸桿和齒輪之間的幾何關系，提出了各個過程之間分界點的確定方法。

2) 以具體參數的跳牙蝸桿和齒輪為例，對蝸桿和齒輪齒面上的接觸點軌跡進行三維仿真，分析了接觸點在齒面上的分布規律，頂刃嚙合過程中的特殊運動規律經過變化，可用于齒頂倒棱和齒根修形加工。

3) 繪制了接觸點處的相對速度曲線，得到了接觸過程中相對速度大小和方向的變化規律，相對速度大小有助于研究間齒珩齒機理，相對速度的方向可作為跳牙蝸桿狀珩磨輪設計的參考。

4) 繪制了齒輪整體誤差單元曲線，與實體求交法得到的單元整體誤差曲線完全相同，驗證了文本模型的正確性。

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Analysis of the tooth-skipped meshing process of the external-meshing gear honing

YU Bo, SHI Zhaoyao, LIN Jiachun, LIU Chang

(Beijing Engineering Research Center of Precision Measurement Technology and Instruments, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

In order to research the spatial tooth-skipped meshing process in the tooth-skipped gear honing, the process was divided into the standard involute helicoid meshing process and the addendum meshing process. Based on the space geometry and the gearing principle, this paper established a 3D model of each process that included the position of the contact points of each process and the relation between them. The method to calculate the demarcation points of each process was proposed according to the geometry relation between the tooth-skipped worm and the gear. An example of the tooth-skipped worm and the gear with specific parameters was given to simulate the trail of the contact points of each process. In addition, the curves of the relative speed at different locations of the contact trail were drafted, and the direction and the value of the relative speed were analyzed, which can lay a foundation for the research of the tooth-skipped gear honing mechanism. An integrated error unit curve was drafted, and comparison with the entity intersection method shows that they are completely coinciding, verifying the correctness of the model.

tooth-skipped meshing; 3D simulation; relative speed; integrated gear error; gear honing; tip meshing

2015-12-13.

日期：2017-01-11.

國家自然科學基金面上項目(51375026)；北京市基金面上項目(3132009).

于渤(1987-), 男, 博士研究生; 石照耀(1964-), 男, 教授, 博士生導師，長江學者.

石照耀, E-mail: shizhaoyao@bjut.edu.cn.

10.11990/jheu.201512042

TH111

A

1006-7043(2017)03-0425-08

于渤, 石照耀, 林家春，等.外嚙合珩齒的間齒嚙合過程分析[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2017, 38(3): 425-432.

YU Bo, SHI Zhaoyao, LIN Jiachun，et al.Analysis of the tooth-skipped meshing process of the external-meshing gear honing[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3): 425-432.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170111.1509.032.html