淺談數學建模在初中數學中的應用舉例

鄧廷祥

相比較于小學數學而言，初中數學無論在知識的深度還是廣度上都有極大的提升，從以前單純的學習正數到現在的對數的擴充到實數，從單一的研究數的運算到引入整式對式的作用的擴展，從單一的認識某一幾何圖形到詳細研究幾何圖形的性質、運用，增加函數、增加概率……

全日制義務教育數學課程標準對數學建模提出了明確要求，標準強調“從學生以有的經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解析與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力。情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。”在近年的中考題目中對這類題型也越發地偏重。

那么在初中數學中有哪些是數學模型是我們需要重點關注的呢？

一、“方程（組）”模型

現實生活中廣泛存在著數量之間的相等關系，“方程（組）”模型是研究現實世界數量關系的最基本的數學模型，它可以幫助人們從數量關系的角度更正確、清晰的認識、描述和把握現實世界。諸如納稅問題、分期付款、打折銷售、增長率、儲蓄利息、工程問題、行程問題、濃度配比等問題，常可以抽象成“方程（組）”模型，通過列方程（組）加以解決

例1A、B兩地相距18公里，甲工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸送天然氣管道，乙工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸油管道。已知甲工程隊每周比乙工程隊少鋪設1公里，甲工程對提前3周開工，結果兩隊同時完成任務，求甲、乙兩工程隊每周各鋪設多少公里管道？

解：設甲工程隊每周鋪設管道x公里，則乙工程隊每周鋪設管道（x+1）公里。

依題意得：

解得x1=2，x2=-3

經檢驗x1=2，x2=-3都是原方程的根。

但x2=-3不符合題意，舍去。

∴x+1=3

答：甲工程隊每周鋪設管道2公里，則乙工程隊每周鋪設管道3公里。

二、“不等式（組）”模型

現實生活建立中同樣也廣泛存在著數量之間的不等關系。諸如統籌安排、市場營銷、生產決策、核定價格范圍等問題，可以通過給出的一些數據進行分析，將實際問題轉化成相應的不等式問題，利用不等式的有關性質加以解決。

三、“函數”模型

函數反映了事物間的廣泛聯系，揭示了現實世界眾多的數量關系及運動規律。現實生活中，諸如最大獲利、用料價造、最佳投資、最小成本、方案最優化問題，常可建立函數模型求解。

例2某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解：（1）y=90-3（x-50）化簡，得y=-3x+240

（2）w=（x-40）（-3x+240）

=-3x2+360x-9600

（3）w=-3x2+360x-9600

=-3（x-60）2+1125

∵a=-3<0 ∴拋物線開口向下

當x=60時，w有最大值，又x<60，w隨x的增大而增大，

∴當x=55時，w的最大值為1125元，

∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得最大利潤1125元的最大利潤

四、“幾何”模型

幾何與人類生活和實際密切相關，諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設計等涉及一定圖形的性質時，常需建立“幾何模型，把實際問題轉化為幾何問題加以解決

五、“統計”模型

統計知識在自然科學、經濟、人文、管理、工程技術等眾多領域有著越來越多的應用。諸如公司招聘、人口統計、各類投標選舉等問題，常要將實際問題轉化為“統計”模型，利用有關統計知識加以解決。

六、“概率”模型

概率在社會生活及科學領域中用途非常廣泛，諸如游戲公平問題、彩票中獎問題、預測球隊勝負等問題，常可建立概率模型求解。

這些模型所內涵的知識點在平時的教學過程中也是需要重點給學生講解，學生必須掌握的知識點。如果在平時的教學過程中將數學建模的思想融入到課堂上，學生學起來會更輕松，理解起來更容易，老師教起來也更得心應手。