邏輯趣題在大學數學教學當中的應用

郝小健+楊帆

隨著時代的發展，娛樂多樣化，手機智能化在課堂上除了聽課可以做的事情越來越多。90后又有著獨有的好奇心和開拓力，課堂上的他們思維極端活躍，但是這種活躍并不一定集中在學習上。課堂上如何將學生吸引過來，使他們關注黑板勝過平板，關注粉筆勝過手機就是現今教育工作者急需思考解決的問題。

而作為一名數學教師如何改變數學在學生心目當中枯燥的形象，使課堂更加的生動有趣則顯得尤為重要。

我所采取的方法是利用邏輯思維趣題將課堂與生活更好地串聯起來，使得看似枯燥的學科煥發出生命力，使得學生明白數學思維在生活當中得以有效的運用會給自己的生活帶來極大的便利。這樣的教學方式更有利于培養學生的觀察能力，邏輯思維能力，對其在今后的工作生活中解決一系列的相關問題提供了有效切入的視角。下面我將詳細闡述我所采用的教學方式以及介紹一部分具有代表性的邏輯趣題。

邏輯趣味題目不能脫離于課本而存在，它要有效的勾連書本知識及日常生活。在講解極限時我經常會用到逆推法，就是從要證的結論逆向思考尋求最佳的解決路徑。而在講解這個方法之前我就選取了海盜分金這個著名的問題來闡述逆推法的真髓。

海盜分金問題：5個海盜搶得100枚金幣，他們決定這么分：

1.抽簽決定自己的號碼 ------ [1、2、3、4、5]

2.首先，由1號提出分配方案，然后大家5人進行表決，當且僅當超過半數的人同意時，按照他的提案進行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。

3.如果1號死后，再由2號提出分配方案，然后大家4人進行表決，當且僅當超過半數的人同意時，按照他的提案進行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。

4.依次類推。

條件：每個海盜都是很聰明的人，都能很理智的判斷得失，從而做出選擇。

問題：第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己免于下海以及自己獲得最多的金幣呢？

這個問題就是逆向思維的典型應用之一。此問題如果直接從正面入手去思考1號的方案很容易陷入毫無頭緒的狀態無法把握問題的根本，但是當我們反過來從5號入手時問題則豁然開朗。假設最后只剩下4，5兩個人那么無論4提出怎么樣的方案5都將選擇一張反對票讓鯊魚將他帶走，自己獨得金幣。4號自然可以清醒的意識到這一點所以3號的存活是其存活的條件，無論如何也要保護3號不死，3號洞悉4號的內心所以如果1，2都喂了鯊魚那么3號會選擇自己獨自占有這些金幣不給4，5分毫，4深知厲害故而唯有妥協從而2比1此方案可以通過。同樣的1，2在此基礎上也會做出相應的思考。最終分配方案利用逆向思維法來求解顯得并不困難。

這道例題的引入過程我將借助于當今大熱的動漫海賊王以便在問題提出之初就吸引到足夠多的關注，講解過程盡量生動有趣采用當今流行的一些網絡詞匯，在講解答案之前給學生10到15分鐘的時間思考討論，對學生提出的方案如果不正確的要予以分析，做到一切建立在邏輯推理之上。通過這樣的學習討論從這樣一道趣味題目入手便可使得他們更深入的理解逆向思維的核心思想，在未來的應用中做到得心應手。

下面我要講的是假設驗證法，此方法是反證法的一種，而反證法在線性代數，高等數學等大學基礎課當中的應用是極其廣泛的。為了和生活相銜接我這次采用的引入的方式是結合97—98年的亞洲金融危機進行論述，我將該問題修改為雪崩問題。

雪崩問題：假設一個村莊有50個家庭，每個家庭的成員都極其聰明敏銳，她們可以觀察到其他家庭在表面的一團和氣之下是否出現了嚴重的經濟問題，但是因為當局者迷的關系它們并不能意識到自己家庭是否也出現了問題。一天村里來了一位智者，智者說你們村子當中至少有一戶出現了問題，但是并沒有指出是誰。如果村民們確定自己的家庭出現了問題他們將選擇在當天晚上焚燒房屋并逃離這個村落。如果在第15天有人逃離，那么問出現問題的家庭有幾個。

此問題初看很難找到突破口，覺得給的信息量太少了，其實不然，我們可以采取假設驗證的手法對該問題進行嘗試解答。首先我們來考慮最簡答的情形，比如沒有家庭出現問題，那么很顯然不會有人焚屋逃離。進一步的我們來假設只有1家出了問題，那么他可以清楚的看到其他49家都是正常的，他第一時間就會發現自己家出了問題當天就選擇逃離。現在假設有兩家那么有一個滯后時間這個滯后時間就是雙方的相互等待時間，一旦等待時間過去兩家就會意識到他們都是有問題的那么他們將在同一晚出走，以此類推，15天有人出走那么出走的人就是15人。

這就是典型的假設驗證的方法，這個例子很好的解釋了亞洲金融危機，只要將村子想象成各個國家而貨幣問題想象成家庭的經濟問題就可以了。通過這個例子不僅培養了學生的假設驗證方法，更拓寬了他們的知識面，使他們了解了一場金融危機爆發的根本原因就是心理危機的爆發。融課本知識于生活，利用邏輯趣題將他們貫穿勾連可以事半功倍的促進學生對于數學的學習興趣。

類似的例題還有很多，如七橋問題，測試球問題，囚徒分湯問題，共謀問題等等，很多問題也是一些卓越企業的面試題目，通過此類問題的講解我們也可以使得學生在未來的面試當中更好地應變一些突發狀況，在生活中學會思考，觀察，推理，抱著一個求證的態度來面對生活。大學數學不是枯燥的說教，是有極大意義及應用背景的存在，我將在未來的課堂上繼續堅持自己的風格，不斷完善提高自己，也會進一步將該方法深入挖掘使得其成為一個更系統有效的訓練方式。

郝小健，男，漢族，1987-03，河北省石家莊人，南開大學博士，博士研究生學歷 ，中級職稱 ，研究方向：組合數學。