直線與圓位置關系的解題教學

馮慧敏++袁麗婧

[摘要]在數學學習中，學生對于概念的的獲得、定理的運用通常通過解題來實現。為促進學生解題能力的形成，教師在實際教學中要善于運用解題思想進行教學。本研究利用波利亞的“怎樣解題表”探究圓的標準方程，以期對教育者們有有一定的啟示作用。

[關鍵詞]解題教學；波利亞；啟發性

【中圖分類號】G633.6

波利亞的《怎樣解題》以注重研究數學解題的思維過程為特色，在解題方面是數學啟發法現代研究的先驅。波利亞認為學生不需要獲得解決所有問題的萬能方法，他強調數學思想和方法的教學，期望學生在分析解題的過程中形成自己的模式，以便在以后的解題過程中可以運用。根據之前成功的的模式和方法，波利亞總結出了一份“怎樣解題表”，表中將解決問題分為四個階段：

首先，我們必須了解問題，我們必須清楚的看到要求的是什么？

其次，我們必須了解各個項之間有怎樣的聯系？未知數和數據之間有什么關系？為了得到解題的思路，我們應該制定一個具體的方案。

再次，實現我們的計劃。

最后，回顧所完成的解答，對它進行檢查和記憶。

直線與圓的位置關系這一內容，蘊含著豐富的數學思想.首先，直線與圓的位置這一幾何特征，是通過點的坐標和直線、圓的方程來研究，體現了數形結合的思想方法.其次，從本節課知識的研究過程來看，由“幾何問題（位置關系）”到“代數問題（坐標、方程、點到直線的距離公式、聯立方程組等），再到“幾何問題（分析代數結果的幾何含義）”，充分體現了由“形”到“數”，再由“數”到“形”的轉化過程，是轉化思想的具體應用.本研究中，教師借助《直線與圓的位置關系》的教學對解題表中的四個階段進行詳細闡述，以供參考。

問題：一個小島的周圍有很多暗礁，暗礁分布在以小島為圓心，30千米為半徑的圓形區域內。現在，小島位于輪船正西70千米處港口位于小島正北40千米處，如果輪船沿直線回港口，是否會觸礁？

一、弄清題目

師：在這個問題中，已知條件有哪些？要求的問題是什么？

生：已知條件是小島和輪船，小島和港口的相對位置及暗礁的分布區域，要求的是輪船直線返回會不會觸礁。

師：怎么判斷輪船會不會觸礁？

生：看輪船的航線與暗礁所在的圓形區域有沒有交點，若有交點則會觸礁，若無交點則不會觸礁。

二、擬定計劃

師：這就轉化為了判斷直線與圓的位置關系的問題，但是這道題里沒有具體的點的坐標和圓的方程，你能把它轉化為數學語言嗎？

生：建立以小島為中心的直角坐標系，取正北方向為 軸的正方向，正東方向為 軸的正方向，則可以得到港口的坐標為 ，輪船的坐標為 ，圓的方程即為 。

師：那我們怎么判斷直線與圓有無交點呢，我們之前解決過類似的問題沒？

生：前面學兩條直線的位置關系時，聯立兩直線的方程，看有無公共解，若有，則有交點；若無，則無公共點。

師：我們這里要聯立哪些圖形的方程？

生：輪船航線所在的直線方程和暗礁所在圓形區域的方程。

師：我們的已知條件是否充分，若不充分，還缺少什么？你能求得缺少的條件嗎？

生：已知條件不充分，缺少航線所在直線的方程，但是我們可以通過輪船和港口的位置獲得所需直線的方程。

師：很好，有了直線和圓的方程之后，聯系起來，我們就可以根據公共解的有無判斷直線和圓的位置關系了，這是我們設想的計劃。

三、執行計劃

生：建立如圖所示的直角坐標系，已知直線過點 和 ，則可以得到直線的方程為： ，聯立直線與圓的方程：

求解即可。

四、回顧

師：你能從其它角度驗證你的答案是否正確嗎？

生：我們還可以求圓心到直線的距離，根據距離與半徑的關系判斷直線與圓的位置關系。

師：很好，這位同學從幾何的角度對這個問題做了處理，這兩種方法都是可行的，同學們可以課下進行檢驗兩種方法做出的結果是否相同。同學們思考一下，若再碰到判斷圖形是否相交的問題，我們怎樣進行解決？

生：求出圖形的解析式，聯立起來，看是否有公共解即可。

波利亞解題表中最重視的是對學生思維的啟發，主張蘇格拉底的產婆式問答法。教師在教學過程中，不要基于表達自己的想法，要盡可能的使學生表達他們的想法。在這堂課中，教師使用的語言主要為提示語，如：已知條件有哪些？我們之前解決過類似的問題沒？這些提示語的使用實際上是使解題者自我反思，自我詰問，有利于培養學生良好的解題習慣和反思習慣。因此，這種教學方法，無論是對激發學生學數學的興趣，還是培養學生數學思維能力都具有重要的意義。

參考文獻

[1]波利亞.怎樣解題[M].科學出版社，1982.

[2]施良方，崔允漷.教學理論：課堂教學的原理、策略與研究[M].上海：華東師范大學出版社，1999.