海上柔性并聯(lián)平臺空間動力學建模與分析

謝克峰， 張合， 劉善增， 李豪杰

(1.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室， 江蘇 南京 210094；2.中國礦業(yè)大學 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116)

海上柔性并聯(lián)平臺空間動力學建模與分析

謝克峰1， 張合1， 劉善增2， 李豪杰1

(1.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室， 江蘇 南京 210094；2.中國礦業(yè)大學 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116)

針對某海上螺旋副- 虎克鉸- 球鉸(HUS)柔性并聯(lián)平臺由快速穩(wěn)定和大負載引起的支撐連桿彈性變形和負載瞄準位置偏差問題，進行了空間彈性動力學建模。采用模態(tài)函數(shù)和空間等截面梁單元模型對彈性連桿進行空間建模，基于虎克鉸和球鉸連接的連桿為兩自由度空間運動，推導了空間單元坐標與系統(tǒng)坐標的兩自由度轉換矩陣，利用平臺的運動學和動力學約束條件建立了HUS柔性并聯(lián)平臺的空間彈性動力學方程；運用Newmark方法對彈性動力學方程進行離散求解，分析了平臺的彈性動力學響應和支撐連桿的最大動應力，并進行了動力學測試實驗；進一步分析了彈性變形對負載瞄準精度的影響。研究結果表明：由彈性變形引起的支撐點最大位移為2.45 mm，且x軸明顯大于y軸和z軸；由彈性角位移引起最大位置偏差為1.35 m. 實驗結果與仿真結果一致，驗證了數(shù)值建模的有效性。

機械學； 柔性并聯(lián)機構； 空間動力學建模； 彈性變形； 彈性連桿

0 引言

海上平臺從尺寸上可以分為大型平臺和小型平臺，常見的大型平臺有石油鉆井平臺、風電設備平臺等[1-2]。小型平臺有水面艦艇平臺、艦載平臺和海上漂浮并聯(lián)平臺等[3-5]，小型的海上漂浮并聯(lián)平臺可以靈活投放，并且快速穩(wěn)定，能夠?qū)崿F(xiàn)一定范圍海上防御、信息預警，當前我國潛艇在自我防御和逃生方面缺少必要手段，因此對于潛艇的自我防御，小型海上平臺的研究具有重要意義。海上漂浮并聯(lián)平臺由于受到波浪和強流的干擾，會產(chǎn)生一定幅度的姿態(tài)偏轉，為穩(wěn)定負載設備，海上平臺必須具有一定的快速穩(wěn)定能力，同時由于海上平臺主要的負載設備如探測設備、跟蹤設備和防御設備等，都具有較大的質(zhì)量和慣量。因此在海上平臺調(diào)平穩(wěn)定過程中支撐連桿會產(chǎn)生一定的彈性變形，從而對平臺的穩(wěn)定精度和負載的跟蹤精度產(chǎn)生一定的影響，故在系統(tǒng)分析的過程中考慮由構件變形引起的位移誤差成為并聯(lián)平臺高精度控制的關鍵[6-7]。國內(nèi)外學者在并聯(lián)機構動力學方面進行了一些研究分析，考慮構件彈性影響日益成為具有大負載的并聯(lián)平臺研究領域的新課題[8-10]。文獻[11-12]主要對海上漂浮并聯(lián)平臺進行了剛體動力學分析，著重分析了剛性系統(tǒng)的運動規(guī)律。落海偉等[13]、Wang等[14]、張清華等[15]建立了柔性桿件的平面3自由度移動副- 轉動副- 轉動副/移動副- 轉動副- 球面副(3-PRR/PRS)等并聯(lián)機構的動力學模型，分析了動平臺的響應和連桿末端的振動。Piras等[16]、劉善增等[17]利用有限元理論和彈性動力學性能分析方法建立了3自由度轉動副- 轉動副- 球面副(3-RRS)柔性并聯(lián)機器人的動力學模型，分析了系統(tǒng)的彈性位移誤差和固有頻率等問題。但是上述彈性動力學分析均著重在平面運動副內(nèi)進行，而海上漂浮螺旋副- 虎克鉸- 球鉸(HUS)柔性并聯(lián)平臺的彈性連桿通過虎克鉸和球鉸與動平臺連接，在系統(tǒng)運動過程中為二自由度的空間運動，需要對此進行空間三維建模和分析。

本文針對海上漂浮HUS柔性并聯(lián)平臺的運動特點，分析由連桿機構引起的彈性形變，基于空間等截面梁單元模型描述連桿模型，運用Lagrange方程和虛功原理建立了空間的彈性動力學模型，并對系統(tǒng)的彈性運動位移和負載的瞄準位置誤差進行分析。

1 海上HUS并聯(lián)平臺坐標系建立

柔性并聯(lián)平臺通過支撐連桿調(diào)節(jié)平臺平衡，系統(tǒng)的剛性運動耦合了支撐連桿的彈性變形，形成剛柔耦合多體系統(tǒng)，產(chǎn)生非線性動力學響應。考慮微小彈性運動的影響，運用彈性力學和分析力學的分析方法，采用Lagrange方程和虛功原理建立海上HUS柔性并聯(lián)平臺的空間彈性動力學模型。

圖1為并聯(lián)平臺的機構簡圖，并聯(lián)平臺為空間兩自由度穩(wěn)定平臺，由兩個驅(qū)動支鏈(HUS支鏈CiBiAi)和動平臺PA1A2構成。支鏈采用滾珠絲桿驅(qū)動，由一個螺旋副、一個虎克鉸和一個球面副組成，且球面副的中心A1、A2位于動平臺。動平臺是以P點為中心的圓柱體，分別通過A1、A2和P連接傳動支鏈和基座，并且A1、A2和P的連線構成等腰直角三角形。

圖1 海上漂浮HUS柔性并聯(lián)平臺機構簡圖Fig.1 Mechanism sketch of HUS flexible parallel platform

在基座O點建立總體坐標系Oxyz，y軸為兩支鏈在基座投影的角平分線方向，z軸垂直向上，x軸按照右手坐標系建立。在動平臺虎克鉸處建立動平臺固連坐標系PxPyPzP，其坐標軸靜止時與系統(tǒng)總體坐標系對應，u0=[βγ]T為兩自由度動平臺的廣義坐標。在虎克鉸B1處建立平動坐標系B1xB1yB1zB1，其坐標軸靜止時與系統(tǒng)總體坐標系對應。在虎克鉸B1處建立轉換坐標系B1x′B1y′B1z′B1，其x′B1軸與平動坐標系B1xB1yB1zB1的zB1軸一致，其z′B1軸與半徑OC1平行，指向O點，y軸由右手坐標系確定。在虎克鉸B1處建立連體坐標系B1x″B1y″B1z″B1，其x″B1軸從連桿B1點指向A1點，y″B1軸和z″B1軸分別在連桿橫截面內(nèi)，滿足右手定則。

2 海上HUS柔性并聯(lián)平臺空間動力學建模

2.1 HUS柔性并聯(lián)平臺的彈性連桿空間建模

球鉸Ai由于兩自由度動平臺的約束作用而具有空間3個方向的位移，因此連桿AiBi的運動為空間運動。螺帽Bi與連桿AiBi之間為虎克鉸連接，因此在轉換坐標系B1x′B1y′B1z′B1中，連桿AiBi為空間兩自由度轉動。

彈性桿建模選用空間等截面梁單元模型，如圖2所示，在建模過程中忽略了關節(jié)摩擦和構件扭轉變形的影響。節(jié)點分別用A3、B3來表示，建立單元坐標系B3xB3yB3zB3如圖2所示，xB3方向為單元軸向，從B3指向A3，yB3、zB3分別在單元橫截面內(nèi)，構成右手直角坐標系，空間等截面兩單元模型為圓柱體。梁單元廣義坐標用δ表示，δ=[δ1δ2…δ17δ18]T，分別表示兩個單元節(jié)點的彈性位移、角位移和曲率。則梁單元上任意一點的橫向彈性位移、軸向彈性位移以及彈性角位移均可以表示為廣義坐標的函數(shù)：

式中：N1、N2、N3為插值向量，采用梁單元節(jié)點的邊界條件，可以求出插值向量的各型函數(shù)。

圖2 空間等截面梁單元模型Fig.2 Space uniform section beam element model

以節(jié)點處的廣義坐標作為未知量，對梁單元上的位移分布和角位移分布進行假定，橫向位移假設為5次艾爾米特差值，軸向位移假設為線性差值，繞x軸的彈性角位移假設為3次差值。HUS柔性并聯(lián)平臺的定平臺和動平臺基座剛度較大；滾珠絲桿兩端固定，其橫截面積是支鏈連桿的兩倍左右；支鏈連桿在整個系統(tǒng)中的長徑比最大，因此支鏈連桿是系統(tǒng)中剛性最差的位置。由于HUS柔性并聯(lián)平臺的大負載和高慣量，在系統(tǒng)加速度劇烈的時刻，系統(tǒng)中表現(xiàn)出柔性的位置最可能出現(xiàn)在支鏈連桿處。本文選擇兩支鏈連桿為彈性桿，分別將連桿A1B1、A2B2設為一個梁單元(梁單元的個數(shù)根據(jù)仿真結果和并聯(lián)平臺要求進行調(diào)整)，如圖3(a)所示，圖中i=1,2. 因此，桿件AiBi的廣義坐標為13個，即

δ=[δ1…δ700δ8…δ13000]T.

(1)

圖3 支鏈AiBi的空間有限元模型Fig.3 Space finite element model of link AiBi

將上述廣義坐標轉換到系統(tǒng)坐標系中得到：ui=[u1…u15000]T，如圖3(b)所示。由各支鏈變形引起的動平臺PA1A2的角位移改變量可用廣義坐標δP表示：

δP=[ΔαΔβΔγ]T,

(2)

式中：Δα、Δβ、Δγ分別為由彈性變形引起動平臺3個方向上的微小角位移。

忽略單元截面的轉動動能，則支鏈單元的動能包括平動動能和轉動動能：

(3)

式中：m(x)為支鏈單元單位長度的密度，m(x)=ρA，A為梁單元的橫截面積；L、ρ分別為單元的長度和密度；Wax(x,t)、Way(x,t)、Waz(x,t)分別為單元3個軸向的絕對彈性位移；Ip為單元對xB3軸的極慣性矩；δr為相對廣義坐標向量；Me為單元質(zhì)量矩陣，

(4)

N4為插值向量。

忽略單元的剪切變形能，則支鏈單元的勢能為

(5)

式中：E、G分別為單元的壓縮彈性模量、剪切彈性模量；Iy、Iz分別為單元橫截面對兩慣性軸的慣性矩；

(6)

(7)

2.2 HUS柔性并聯(lián)平臺的空間約束關系

支鏈動力學方程(7)式是在單元坐標系中求得的，為了得到柔性并聯(lián)平臺系統(tǒng)的空間彈性動力學模型，需要完成3個步驟：1)將支鏈動力學由單元坐標系轉換到系統(tǒng)坐標系中；2)獲得支鏈單元和動平臺的運動學以及動力學約束關系；3)計算系統(tǒng)坐標系下動平臺的運動學方程。

連體坐標系B1x″B1y″B1z″B1與轉換坐標系B1x′B1y′B1z′B1可以通過兩個歐拉角β0、γ0變換，從B1x′B1y′B1z′B1坐標系到B1xB1yB1zB1坐標系可由T(45)完成轉換，則從連體坐標系B1x″B1y″B1z″B1到B1xB1yB1zB1坐標系的轉換矩陣可以表示為

TB=T(45)T(β0，γ0)，

δi=TBui.

(8)

將(8)式代入彈性連桿模型(7)式可得

(9)

化簡后得

(10)

連桿AiBi的局部坐標到系統(tǒng)坐標的轉換關系分別可用(10)式進行表示。

點A1和A′1在系統(tǒng)坐標系下的坐標分別為(xA1yA1zA1)T和(xA′1yA′1zA′1)T，則有

(11)

式中：A1M表示點A1在原位形坐標系下的坐標值，與變形后位形下的坐標值相等。

由彈性變形引起點A1的位移差為

(12)

式中：I為單位矩陣。

將位移差模型化簡得

(13)

(13)式即為點A1的彈性位移與動平臺的彈性角位移之間的約束關系。

動平臺在外力和支鏈作用下做二自由度定點轉動，則在單元坐標系中由牛頓- 歐拉方程得

(14)

將(14)式方程轉換到歐拉坐標系中，由歐拉坐標到單元坐標的轉換公式為

(15)

將(15)式代入(14)式中，可以得到動平臺用歐拉角表示的動力學方程：

(16)

2.3 HUS柔性并聯(lián)平臺的空間動力學模型

系統(tǒng)廣義坐標U*=[ui1…ui15ΔβΔγ]T，彈性桿廣義坐標U*=[ui1…ui15]T，則由(13)式可得

Ui=RU*，

(17)

將(17)式代入(10)式可得

化簡為

(18)

式中：Mi=RT(MeT)15×15R；Ki=RTKeTR.

(19)

3 柔性動力學方程的數(shù)值求解與實驗驗證

系統(tǒng)的彈性動力學方程是一個強耦合、變系數(shù)的微分方程組，本文選擇Newmark法進行有限元動力學求解。HUS柔性并聯(lián)平臺的OA1、OA2、OC1、OC2均為180 mm，連桿A1B1、A2B2長400 mm，OC2與y軸之間夾角為45°.

設定系統(tǒng)參數(shù)：材料為鋼，密度ρ=7 800 kg/m3，抗壓彈性模量E=210 GPa，剪切彈性模型G=80 GPa，彈性桿截面積A=0.001 6 m2，動平臺的質(zhì)量M0=40 kg，Δt= 0.1 ms，各構件的轉動慣量如表1所示，表中Jx、Jy、Jz分別為構件對x、y、z軸的轉動慣量。

假設動平臺單軸轉動，運動規(guī)律為

(20) 表1 構件轉動慣量Tab.1 Moment of inertia of each part

動平臺的彈性運動位移如圖4所示，彈性角位移如圖5所示，連桿的最大動應力如圖6所示。

圖4 動平臺的彈性位移Fig.4 Elastic displacement error of moving platform

圖5 動平臺的彈性角位移Fig.5 Elastic angular displacement of moving platform

圖6 連桿最大動應力曲線圖Fig.6 Maximum dynamic stress curve of link

在系統(tǒng)運動過程中點A1在剛性位移的基礎上產(chǎn)生彈性位移，圖4描述了動平臺與支鏈的連接點A1在x、y、z3個方向上的最大彈性位移的變化過程，給出了每個時刻彈性震蕩的幅值。可見，3個方向彈性位移相差較大，其中x軸明顯大于y軸和z軸，這是因為連桿Bi端的連接形式為虎克鉸，在y、z方向受到虎克鉸的約束作用，因此x方向的彈性位移與y軸和z軸明顯不同。從圖4中可以看出，x、y、z3個方向上的最大彈性位移分別為0.47 mm、0.018 mm、0.017 mm，顯然在平臺運動過程中彈性位移也在不斷變化。

圖5為動平臺兩個廣義歐拉角的彈性角位移變化情況，由圖中可以看出β變化比γ劇烈，這是因為β角在運動過程中耦合了γ角的變化，因此無論在變化頻率還是在變化幅值上都會相對劇烈，其中β的最大值為2.7×10-3rad，γ的最大值為0.17×10-3rad. 圖6為并聯(lián)平臺支撐連桿的最大應力變化情況，最大應力發(fā)生在連桿的B端，A1B1的最大應力均值大于A2B2，連桿L2變化范圍較連桿A1B1大，在系統(tǒng)運動過程中，彈性桿的最大應力分別是2.35 GPa、1.7 GPa.

圖7所示為實驗室樣機測試實驗，通過伺服電機驅(qū)動加載，電機轉速由20 r/min變化到140 r/min，記錄動平臺的姿態(tài)變化，數(shù)據(jù)采集通過兩個航姿測量系統(tǒng)完成，基座上的航姿測量系統(tǒng)用來完成對動平臺測量數(shù)據(jù)的修正。

圖7 樣機測試試驗Fig.7 Experiment of prototype

圖8所示為由測量數(shù)據(jù)得到的3個方向的彈性位移，從圖中可看出x軸的彈性位移明顯高于y軸、z軸，與仿真分析一致，驗證了數(shù)值建模的有效性。電機轉速在140 r/min時，彈性位移在幅值和頻率上均表現(xiàn)明顯，電機轉速從120 r/min減小時，彈性位移收斂速度變慢，彈性位移趨于穩(wěn)定，變化不明顯。

圖8 樣機彈性位移Fig.8 Elastic displacement of prototype

海上HUS柔性并聯(lián)平臺承擔海面探測、預警等任務，具有一定的防御和攻擊能力，其平臺上裝有負載設備，由于彈性連桿引起的平臺微小角位移差影響了負載設備的定位和瞄準精度。彈性角位移引起的負載瞄準位置偏差為

x=T(β、γ)Lm-Lm，

(21)

式中：Lm為負載設備的工作距離。

Lm一般在6 km左右，轉換矩陣T是由β、γ形成的彈性角位移矩陣，則由(21)式可知，彈性角位移引起的最大位置偏差1.35 m，同時應該注意的是，該誤差僅僅考慮了彈性形變，而沒有考慮系統(tǒng)結構的制造誤差等。因此系統(tǒng)在進一步的結構優(yōu)化設計中應著重加強支鏈連桿的剛性，同時在系統(tǒng)的控制結構中考慮柔性模型引起的彈性變形誤差，提高控制精度。

4 結論

本文基于等截面梁單元模型，利用Lagrange方程建立了空間連桿的彈性動力學模型。

1)分析了空間兩自由度連桿的彈性廣義坐標變化情況，由兩自由度的歐拉變換推導并聯(lián)機構彈性連桿的空間位置變換方程，結合運動學和動力學約束條件，推導了海上HUS柔性并聯(lián)平臺的空間彈性動力學方程，

2)仿真分析結果表明：x軸彈性位移大于y軸和z軸；彈性角位移β在運動過程中耦合了γ角的變化，β變化比γ更加劇烈；彈性桿的最大應力分別是2.35 GPa、1.7 GPa，最大應力發(fā)生在連桿的B端。

3)實驗測量結果與仿真分析一致，驗證了數(shù)值建模的有效性；電機轉速在140 r/min時，彈性位移在幅值和頻率上變現(xiàn)明顯，從120 r/min減小時，彈性位移變化較小，趨于穩(wěn)定。

4)分析了平臺負載在彈性角位移作用下形成的瞄準位置偏差，負載設備工作距離6 km時，最大位置偏差1.35 m，對進一步研究海上HUS柔性并聯(lián)平臺的動態(tài)特性、優(yōu)化設計和系統(tǒng)控制具有一定的參考意義。

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Space Dynamic Modelling and Analysis of Offshore HUS Flexible Parallel Platform

XIE Ke-feng1, ZHANG He1, LIU Shan-zeng2, LI Hao-jie1

(1.Ministerial Key Laboratory of ZNDY, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China;2.School of Mechanic Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, Jiangsu, China)

The space elastic dynamic modelling of parallel platform is created for the elastic deformation and the load pointing displacement error of support link due to the rapid stabilization and large load of offshore HUS flexible parallel platform. Space elastic link is modelled by modal function and space equal section beam element model. The link based on hook joint and ball joint has two degrees of freedom space movement. The transformation matrix of two degrees of freedom between space element coordinate and system coordinate is derived. The kinematic and dynamic constraints of platform are used to establish the space elastic dynamic equations of HUS flexible parallel platform. The elastic dynamic equations are discretely solved by Newmark method. The elastic dynamic response of platform and the maximum dynamic stress of support link are analyzed. And the dynamic test experiment is conducted. The results show that the maximum displacement of support point by elastic deformation is 2.45 mm, and the error of axisxis significantly greater than those of axesyandz. Experimental results are consistent with the simulated results, thereby validating the effectiveness of the numerical model. The influence of elastic deformation on load pointing accuracy is analyzed, and the maximum position error due to elastic angular displacement is 1.35 m.

mechanics; flexible parallel platform; space dynamic modelling; elastic deformation; elastic link

2016-05-05

國家自然科學基金項目(51475243)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(KYLX15-0340)

謝克峰(1988—), 男, 博士研究生。E-mail: xiekefeng.ok@163.com

張合(1957—)，男，教授，博士生導師。E-mail: hezhangz@njust.edu.cn

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.03.013

TJ610.3+1; TP242.3

A

1000-1093(2017)03-0512-08