淺談如何用數(shù)學(xué)方法解決物理問題

劉俊宏

【分類號(hào)】G633.6

馬克思曾說過“任何一門科學(xué)只有利用數(shù)學(xué)才能達(dá)到完美的境界”。中學(xué)物理《考試大綱》中對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力作出了明確要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力”.高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，也突出了近年高考所倡導(dǎo)的對考生綜合能力的考查，通過學(xué)習(xí)和摸索，我發(fā)現(xiàn)，解決很多物理問題的時(shí)候，如果能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的作用，利用其思想、方法，可以為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力工具.在高中物理學(xué)習(xí)中，常用的數(shù)學(xué)方法有圖象法、幾何法、極值法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差（比）數(shù)列求和法等。

一，圖像法在物理中的應(yīng)用

圖像在中學(xué)物理解題中應(yīng)用十分廣泛，它能形象地表達(dá)物理規(guī)律，直觀地?cái)⑹鑫锢磉^程，并簡潔地表示物理量間的各種關(guān)系.所以圖像法是解決物理問題的一種重要方法.比如在追及問題中，可以根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況，畫出運(yùn)動(dòng)物體的位移-時(shí)間圖像或者速度-時(shí)間圖像，然后根據(jù)它們的運(yùn)動(dòng)關(guān)系解題.

例1 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時(shí)，后車以前車剎車時(shí)的加速度開始剎車.已知前車在剎車過程中所行駛的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為

A.s B.2s C.3s D.4s

【分析】 根據(jù)題意畫出前車剎車后做勻減速運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖線（如圖線①），前車經(jīng)過時(shí)間t停下來，在這段時(shí)間內(nèi)，后車做勻速運(yùn)動(dòng)（如圖線②），在t時(shí)刻后車也開始剎車，后車以同樣的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)（如圖線③）.由速度-時(shí)間圖像的物理意義可知，前車經(jīng)過的位移大小等于△OAt的面積，大小為s，而后車經(jīng)過的位移大小等于梯形OADC的面積，所以，兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為平行四邊形AtCD的面積，其大小為2s，即選項(xiàng)B正確.答案：B。

二、幾何法在物理中的應(yīng)用

幾何知識(shí)是物理中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)之一，在力學(xué)問題中經(jīng)常出現(xiàn)。利用幾何方法求解物理問題時(shí)，常用到的有“對稱點(diǎn)的性質(zhì)”、“兩點(diǎn)間直線距離最短”、“直角三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識(shí)，如：帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)類問題，物體的變力分析時(shí)經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等.與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用，尤其在帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)類問題中應(yīng)用最多，此類問題的難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上，確定方法有以下幾種.

1.依切線的性質(zhì)確定.從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對應(yīng)的切點(diǎn)，過切點(diǎn)作切線的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為圓心，圓心與切點(diǎn)的連線為半徑.

2.依垂徑定理（垂直于弦的直徑平分該弦，且平分弦所對的弧）和相交弦定理（如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)）確定.如下圖所示.

以上兩種求半徑的方法常用于求解“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)”這類習(xí)題中.

三、極值法在物理中的應(yīng)用

求函數(shù)的極值一般有兩種方法，即借助均值不等式或者二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)來處理。

以上求極值的方法是求解高考物理極值的常用方法。當(dāng)然，除了以上方法還可以用配方法、函數(shù)法等方法求極值問題。在使用中，必須考慮實(shí)際問題，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，使用合適而有效的方法，提高計(jì)算的效率。

四、極限法在物理中的應(yīng)用

極限法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，從而得到事半功倍的效果。

五、微元法在物理中的應(yīng)用

利用微分思想的分析方法稱為微元法.它是將研究對象（物體或物理過程）進(jìn)行無限細(xì)分，再從中抽取某一微小單元進(jìn)行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律的一種思想方法.微元法解題的思維過程如下.

（1）隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉ο?微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間等，但必須具有整體對象的基本特征.

（2）將微元模型化（如視為點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)等），并運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個(gè)微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián).

（3）將一個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加，以求得整體量的合理解答.

六、數(shù)列法在物理中的應(yīng)用

凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù).隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化.該類問題求解的基本思路為：

（1）逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程；

（2）利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式（這是解題的關(guān)鍵）；

（3）最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解.

總之，在高中物理中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法還有很多，如分析法、歸納法、數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用等等。我們可以根據(jù)不同的物理問題作恰當(dāng)?shù)倪x擇，讓數(shù)理思維有機(jī)的結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)、物理這兩門學(xué)科互相滲透、互相促進(jìn)、相得益彰。在此基礎(chǔ)上增加自己的綜合能力，以更好的應(yīng)對高考，應(yīng)對人生中的每次變化。