從復合函數到復合算子的性質研究

【摘要】復合函數是高等數學中最重要的函數之一，高等數學中的很多函數都是復合函數。本文從高等數學中的復合函數定義出發，引出復合算子的定義，并得出復合算子的一些代數性質，并給出一些特殊的復合算子。

【關鍵詞】復合函數；復合算子；線性性質

【基金項目】重慶市教委項目（KJ120704）

O177.6

在高等數學中，給定兩個函數 和 ，如果函數 的值域是 定義域的子集，則 和 可以做復合運算，復合之后的新函數為： ，稱為 和 的復合函數，其中 稱為外函數， 稱為內函數，在不引起混淆的情況下，有時也記為 。復合運算在數學中占有重要地位，高等數學中的初等函數就是由基本初等函數經過有限次的復合及加減乘除運算得到了。在求導數及偏導數中，復合函數也有專門的鏈式法則。

高等數學中研究的函數的定義域是數域（主要是實數域和復數域），即把數映射到數，如果我沒把研究的對象推廣一下，比如擴展到函數空間上，就可以把對函數的研究推廣到對算子的研究。算子是從一個函數空間到另外一個函數空間或函數空間自身之間的映射。常見的算子有復合算子、乘積算子、加權復合算子、微分算子、Laplace算子等。在泛函分析中，復合算子主要是作用在Banach空間上，如Hardy空間、Bergman空間、Fock空間等；在物理學特別是動力系統領域，復合算子主要是指Koopman算子。本文主要介紹函數空間上復合算子的一些代數性質。

一、復合算子的定義及性質

其中共有 個 進行了復合。迭代通常用于復合算子不動點的研究。迭代性質和函數的 次復合類似。

算子理論屬于大學高年級及研究生階段的內容，在高等數學的教學過程中，講授復合函數時，可以給學生簡要介紹復合算子的一些基本性質，提高學生的知識面及對數學的學習熱情。

參考文獻：

[1]Carl C. Cowen， Barbara D. MacCluer， Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics， CRC Press， Boca Raton， Fla， USA， 1995

[2]同濟大學數學系，高等數學（第六版）.高等教育出版社，2007.

[3]華東師范大學數學系，數學分析（第三版）.高等教育出版社，2001.

[4]劉炳初，泛函分析.科學出版社，2004.

作者簡介：

耿立剛，男，1984.04生，籍貫：山東，學歷：博士研究生，民族：漢，單位：重慶工商大學，講師，研究方向：函數空間與算子理論