平面界面折射成像位置的研究

郎 軍 董洪瓊

(重慶市第十一中學校，重慶 400061)

平面界面折射成像位置的研究

郎 軍 董洪瓊

(重慶市第十一中學校，重慶 400061)

應用幾何畫板軟件根據折射定律對平面界面折射成像位置進行研究,得到了精確的定量結果,用實驗對研究結果進行檢驗,發現理論結果與實驗觀測嚴重不符.通過分析,發現了傳統分析中確定像點方法有重大疏漏.通過研究微小立體角光束的反向交匯點來確定平面界面折射成像位置,得到的理論結果與實驗觀測一致.

平面界面;折射;成像位置;立體角光束

1 問題的提出

圖1

在岸上觀察水中物體,像的位置在哪里呢?通常研究方法是在圖1所示的平面內取兩條夾角很小的入射光線,應用折射定律定量計算兩折射光線反向延長線的會聚點,這個點就是像的位置.研究得到的結論是:相對于物點而言,像點在豎直方向要上移,在水平方向要靠近觀察者，這是大家熟知的結論.然而在實際觀察中發現,像點在水平方向移動不明顯.對此中學階段目前有兩種觀點.

觀點1:通常情況下像點的水平偏移量很小,以致于人眼感覺不到.

觀點2:由于觀察方向的原因,像點的水平偏移無論多大都看不出來.

觀點2很具有欺騙性,當用單眼觀察物體時,人眼的確對距離的變化不是很敏感,但人是雙眼觀察,可以通過觀察目標對兩眼的夾角大小來判斷物體的遠近,只有當物體很遠時,物體對兩眼夾角小于人眼分辨角后,人對距離的變化才不敏感.

在圖1中,設物點A經水面折射后理論上成像于A′點,相對于物點,像點的豎直位移為Δy, 水平位移為Δx.注意這種情況下,人眼觀察的視線也并不是沿水平方向,視線與水平位移Δx和豎直位移Δy都不平行,憑什么人眼只能感受到Δy卻感受不到Δx呢?

折射像和反射像盡管都是虛像,但人眼對它們的視覺感受與看實物是一樣的.像不是影,觀察虛像的位置不是人眼“發出”光將虛像投影.所以圖1中人眼看到的像點的位置就在它實際的位置A′,只要水平偏移足夠大,人眼是能感受到的.

為了進一步弄清真相,我們作了比較深入的研究,獲得了令人意外的發現.

2 深度研究

研究的主要思路是先得出在不同視角下折射像點偏移量的理論數據,然后用實驗測出在同等條件下折射像點偏移量的實驗數據,最后對理論結果與實驗結果進行比較分析.

2.1 用幾何畫板定量探究物點經平行玻璃磚折射成的像點偏移量的理論數據

用幾何畫板軟件進行研究的界面設置如圖2所示,軟件嚴格按折射定律作圖,物點S發出的光經兩次折射后成像于S′,出射點C與S′的反向延長線與SO交于S″．重新設置參數Δi=0.001°及物點S距下界面的距離為0.01cm,界面變成圖3所示．

圖2

圖3

選取S′后設置“追蹤點”,調出“運動控制臺”窗口,選取動點B點,調節播放速度至最慢,按播放按鈕,屏上顯示出沿不同方向觀察對應像點S′的變動軌跡,隨時暫停可記錄不同視角下的偏移數據.得到的理論數據如表1所示.

表1 物點經平行玻璃磚折射成像偏移量的理論數據(d=5.0cm,n=1.50)

數據表明,當視角(視線與豎直方向夾角,下同)較小時,像的水平偏移量確實很小,但當視角較大時,像的水平偏移量就不小了,視角約為60°時,水平偏移量將是豎直偏移量的一半,這么大的偏移無論如何應該能用實驗觀察出來.

2.2 測量折射像點偏移量的實驗數據

實驗裝置原理圖和實物圖分別如圖4和圖5所示.物點為在白紙上畫的5個點,中間點為研究對象,邊緣4個點為參照點.實驗前調節玻璃磚的位置,讓過中點S點的豎直面與固定標尺的零刻度相交.打開手電筒(可用手機代替),順著觀察的方向補光,調節補光方向以便能同時看清物點的折射像和豎直活動標尺的反射像,調節豎直標尺的位置,讓它的反射像的刻度線穿過折射像點S′.通過兩個標尺的刻度可以確定像點S′的位置,保持視線不變,調節遮光片的位置至恰能看到像點的一半,通過遮光片所對的刻度可以確定光線出射點的位置坐標,結合像點S′的坐標進一步可以算出視角等.

圖4

圖5

連續緩慢地改變觀察方向,并隨之調整補光方向,觀察折射像點的位置變化情況并記錄有關數據.

本實驗所用玻璃磚的厚度為d=5.0cm,折射率約為1.50,觀測的數據如表2所示.

表2 觀察玻璃中物點的折射像偏移量的實驗數據(d=5.0cm,n=1.50)

觀察發現,活動標尺不需要作任何移動(稍微移動一下活動標尺,像點S′就會偏離標尺反射像的豎直線),它一直對準固定標尺的零刻度.隨著視角的增大,折射像點沿標尺反射像的豎直線上升而逐漸變得模糊,但始終未偏離這條豎直線.

實驗表明,折射像點在水平方向零偏移,在豎直方向的偏移也與理論結果有較大的差異.很顯然,這么大的差異不可能是讀數誤差和玻璃折射率不準造成的.

對比表1和表2的數據不難發現,實驗觀察到的像點并不是在圖3中S′,而是在S″的位置．

圖6～8是用幾何畫板研究的從岸上同一觀察點看水中豎直桿OA的折射像的理論結果.理論結果表明,直桿的折射像要彎曲,當觀察方向與豎直方向達到70°左右時,很大一部分直桿的折射像將幾乎橫臥在水平面上.

圖6

圖7

圖8

圖9

我們用圖9所示的實驗進行檢驗.在實驗時同樣要注意沿觀察的方向適當補光,以便能看清鋼針的折射像和豎直懸線的反射像.(a)圖中鋼針有大半豎直插入水中,傾斜觀察鋼針與水面的交接處,看不到任何偏折.改變觀察方向,水中鋼針像的長度不斷變化,但水面上下兩部分鋼針始終保持在同一條豎直線上.圖(b)中鋼針全部浸入水中,調節補光方向讓細線的反射像清晰可見,隨著視線與豎直方向夾角的變大,可以看到整個鋼針不變形,只是長度逐漸變短,但始終保持豎直,針尖始終沿細線的反射像向上移動,始終看不到鋼針的折射像偏離豎直方向的情況.

需要說明的是相機拍的照片遠沒有人眼看到的情況真切,希望讀者不要僅從照片記錄的結果來分析可能存在的觀察錯覺．

2.3 傳統方法的錯因分析

圖10

物點發出的單心光束經平面界面反射后仍是單心光束,所以物點的反射像是嚴格的點像,所有反射光線的反向延長線均過像點,因此可以只用任意兩條光線就可以確定反射像點的位置. 但是物點發出的單心光束經平面界面折射后不再是嚴格的單心光束,這時不是任意兩條折射光線反向延長的交點都能引起人眼的視覺,要引起人眼視覺,必須有足夠強的能量.

以水中物點成像為例,圖10中S為物點,水平面為xOz平面,折射光進入人眼成像的光應考慮圖中一個微小的立體角內的光束．一直以來人們都只考慮了xOy平面的一個微小平面角內的光,這一微小平面角內的折射光雖然近似反向會聚一點(這個點設為S′,前面用幾何畫板工具已定量證明,S′偏離y軸距離一般還不小),但其能量相對于總的進入人眼的這個錐體內的光而言,是微乎其微的,是不一定能成像的,除非光錐內的其他折射光也近似反向通過S′點. 光錐與xOy平面內的相截的部分可視為一個橢圓,在橢圓內非x軸上任取一點C,由立體幾何知識易知,S′不在SOC平面內,但從C點折射出的光線必在SOC平面內,因此其反向延長線不會嚴格地通過S′點.倒是可以肯定錐體內的所有折射光線都一定反向通過y軸.由此可以初步發現,最可能成折射像的位置在y軸上.

2.4 平面界面折射像位置的證明

圖11

將出射光的橢圓水面按圖10的方式細分成許多水帶,下面我們證明同一條水帶出射的折射光的反向延長線近似地交于y軸上的同一點.考慮正中間的水帶,設它的中點B到O的距離為L,物點S到O的距離為h,在水帶上取一點C,C到B的距離為Δz,從C點折射出的光線的反向延長線與y軸的交點S0′與O點的距離為h0′,入射角和折射角為i和r,水的折射率為n.結合圖11中的幾何關系有

可見,同一水帶射出的折射光的反向延長線近似交于y軸上的同一點.對此,我們也可以用數據進行驗證,例如,設h=10cm,L=8cm,n=1.33, Δz=0.1cm,代入上面的表達式,可得h0′的精確值為5.35804cm, 近似值為5.35845cm,相差0.00041cm=4.1μm,誤差為0.00008,可見近似程度非常高.

設h=10cm,L=8cm,n=1.33, Δx=0.1cm=1mm,代入上面的表達式,可得hΔx′的值為5.29253cm, 與中心點值(5.35845cm)相差0. 06592cm,誤差為1.2%.

3 研究結論

物點經平面界面折射成的像不是嚴格意義的點像,對于這種非單心光束的像的位置,不能用任意兩條光線的反向延長線的交點來確定像的位置,也不能只考查某一微小平面角內的光的反向延長線的交點,而應考慮一個進入人眼的微小立體角的光束的反向交匯點.

物點經過平面界面折射成像的位置在過物點作與界面垂直的線上.在光疏介質中觀察時,像相對于物點沿垂線靠近觀察者;在光密介質中觀察時,像相對于物點沿垂線遠離觀察者.

1 桂健生.光經平面界面折射成像的位置與觀察者方位的關系[J].物理教師,2010(9)：43-44.

2顧敏敏,邱勤薇.平面折射成像究竟在哪兒[J].物理教師,2015(3)：60-61.

2016-08-11)