數形結合解答應用題

華 麗

《數學課程標準》在總體目標中指出：“學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”“數形結合”是一種重要的數學方法，是通過“數”與“形”的相互轉化和利用來解決數學問題的一種重要思想方法。著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”圖形題的解答離不開“數形結合”。

一、借助“簡易圖”理解抽象數學內容

適用題型：平面圖形、立體圖形應用題。

例1：一根長3米粗細均勻的木頭，截成兩段表面積增加了8平方分米，求原來這根木頭的體積。

1.讀題，圈關鍵詞。“長3米”，“表面積增加8平方分米”，求“體積”。讀時注意單位不一致。

2.作圖

從圖中體會表面積增加了兩個面，一個面的面積就是木頭的橫截面。

3.解答：3米=30分米

8÷2=4（平方分米）

4×30=120（平方分米）

練習：

1.一塊長方形菜地，一面靠墻，三面圍籬笆，籬笆長25米，菜地的寬8米，求菜地的面積。

2.一個長30厘米，寬25厘米的長方形，把它剪成邊長是4厘米的小正方形，最多可以剪幾個？

3.一個正方體棱長為5厘米，在它上面截去一個棱長為1厘米的小正方體，表面積會發生什么變化？（思考：有幾種截法？）

4.一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上次剩下的一半，小明喝了四次后，剩下的牛奶占這杯牛奶的幾分之幾？

二、借助“線段圖”形象地理解數量關系

適用題型：分數應用題、行程問題、和差問題、和（差）倍問題等。

畫線段圖步驟：

（1）讀懂題目中的已知條件和問題，所畫的線段圖要和題目一致；

（2）圖中線段的長短要和題目基本一致；

（3）在圖中標明條件和所求問題；

（4）解答題目。

例2：甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行。甲速度為每小時3千米，乙速度為每小時4千米，若乙先出發2小時，甲才出發，則甲經過幾小時后與乙相遇？

1.讀題，本題為相遇問題的變形題。

2.畫線段圖：

3.解答

4×2=8（千米）……乙先出發2小時的路程

36-8=28（千米）……甲乙同時出發共走的路程

28÷（3+4）=4（千米）……相遇時間

練習：

1.甲、乙兩車同時從相距480千米的兩地相對而行，甲車每小時行45千米，途中因汽車故障甲車停了1小時，5小時后兩車相遇。乙車每小時行多少千米？

2.一輛面包車和一輛小轎車同時從相距300千米的兩地相向而行，面包車每小時行45千米，小轎車每小時行55千米，幾小時后兩車第一次相距100千米？再過多少時間兩車再次相距100千米？

3.一件上衣比一條褲子貴160元，其中褲子的價格是上衣的3/5，一條褲子多少元?

4.果園里有梨樹、桃樹、核桃樹共526棵。梨樹比桃樹的2倍多24棵，核桃樹比桃樹少18棵。求梨樹、桃樹及核桃樹各有多少棵？

三、借助符號或圖形表示題中數量關系

適用題型：雞兔同籠、周期問題等。

例3：雞兔同籠，頭8只，腳20只，問雞兔分別多少只？

分析：本題可以用特殊符合表示雞和兔的頭、腳，尋找解答的辦法。下面用○表示頭，| 表示腳，表示出題中的數量關系。

先畫出8個頭：

如果都是雞，表示出腳，2×8=16（只）

實際有20只腳，20-16=4（只）

把4只腳畫在圖中。

從圖中很容易看出兔有2只，雞有6只。

4÷（4-2）=2（只）……兔的只數

8-2=6（只）……雞的只數

想一想：如果假設都是兔，怎樣畫圖呢？

練習：

1.籠中有兔又有雞，數數腿36，數數腦袋11，問幾只兔子幾只雞？

2.一輛自行車有2個輪子，一輛三輪車有3個輪子。車棚里放著自行車和三輪車共10輛，數數車輪共有26個。問自行車幾輛，三輪車幾輛？

3.一只蛐蛐6條腿，一只蜘蛛8條腿。現有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68條腿。問蛐蛐幾只，蜘蛛幾只？

4.今有五分的和一角的兩種汽車票，共10張，總錢數是七角五分。問每種各幾張？

例4：紅珠、藍珠一共182個串成一串，1紅2藍。請問：最后一個珠子是什么顏色？這182個珠子中，紅色、藍色珠子各有多少個？

分析：本題屬于周期問題，可以畫圖先表示幾組，然后找規律歸納方法。

畫圖如下：

觀察上圖，發現珠子是按每組3個、1紅2藍的順序排列的，求最后一個珠子的顏色，就看它是第幾組第幾個。

182÷（1+2）=60（組）……2（個）第182個珠子在第61組的第2個，所以是藍色。

因為共有60組，余2個，所以：

紅色的珠子有：60×1+1=61(個)

藍色的珠子有：60×2+1=121（個）

練習：

1.流水線上生產小木珠涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后再依次是5紅，4黃，3綠，2黑，1白……繼續下去第1993個小珠的是什么顏色？

2.把珠子一個一個地按順序往返不斷投入A、B、C、D、E、F袋中，第1992粒珠子投在哪個袋中？

3.一個循環小數 0.1428571428571428……小數點后第 1000 位的數字是幾？

4.今天是星期四，再過 90 天是星期幾？