初中幾何求最小值的技巧

貴州省沿河縣第六中學(xué)(565302) 楊再發(fā) ●

初中幾何求最小值的技巧

貴州省沿河縣第六中學(xué)(565302) 楊再發(fā) ●

一、用點(diǎn)到線的距離垂線段最短來求

例1 如圖，在△ABC中，AB=3、AC=4、BC=5，點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，求EF的最小值．

解 連接AP．AB=3，AC=4，BC=5，32+42=25，52=25，即AB2+AC2=BC2，所以△ABC是Rt△，即∠BAC=90°．因?yàn)镻E⊥AB于E、PF⊥AC于 F，所以四邊形AEPF是矩形，所以EF=AP．要求EF的最小值，就是求AP的最小值．即就是求點(diǎn)A到BC的最小值．當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最小，所以過A作AP⊥BC于P如圖．

二、用兩點(diǎn)之間線段最短來求

解決線段和最小值的問題經(jīng)常與軸對(duì)稱聯(lián)系起來，通過作對(duì)稱點(diǎn)把要相加的線段進(jìn) 行等量代換，放置在同一條直線上成為一條線段．

例2 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△BEQ周長的最小值．

解 因?yàn)椤鰾EQ的周長=QE+QB+BE，而BE的長度已固定．所以求△BEQ周長的最小值，就要使QE+QB的值最小．將QE、QB轉(zhuǎn)化在一條線段中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來解．因?yàn)檎叫问禽S對(duì)稱圖形，所以B、D是關(guān)于AC對(duì)稱．如圖，連接DE交AC于點(diǎn)Q，連接QB．則QB =QD，所以QE+QB=QD+QE=DE．因?yàn)锳D=AB=4AE =3，所以BE=1．則QD +QE=QB+QE=5，所以△BEQ的周長=QE+QB+BE =5+1=6，所以△BEQ周長的最小值是6．

三、用三角形兩邊之和大于第三邊來求

例3 已知:如圖在四邊形ABCD中，AD、BC不平行，F(xiàn)、E分別是AB、CD的中點(diǎn)，若EF=8，求AD+BC的最小值．

解 連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接EG、FG．因?yàn)镋、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，所以EG、FG分別是△BCD、△ABD的中位線．即在△EFG中，因?yàn)镋G+FG＞ EF．

當(dāng)E、G、F三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即EG+FG≥EF．因?yàn)镋F=8，所以BC+AD≥8，則BC+AD≥16，所以AD +BC的最小值是16．

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