一道幾何題的多種解法

湖南省郴州市北湖區(qū)郴州市九中(423000) 李林強 ●

一道幾何題的多種解法

湖南省郴州市北湖區(qū)郴州市九中(423000) 李林強 ●

一、原題呈現(xiàn)

如圖1、四邊形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，AD= DC=5，AB=7，BC=1，則BD=___．

二、解法展示

解法1 如圖2，連接AC，過C點作CH⊥BD，垂足于H點．因為∠ABC=∠CDA=90°，所以，A、B、C、D四點共圓;又因為AD=DC=5，所以∠CAD=∠DCA=45°，所以△ACD是等腰直角三角形，所以∠CBD=∠CAD=45°．又因為BC=1，所以．在Rt△CDH中，CD=5，所△BCH是等腰直角三角形．所以由勾股定理可得:

解法2 如圖3，把△DBC繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△DC'A．因為AD=CD=5，∠ADC=∠ABC=90°，所以∠ADC+∠ABC=90°，所以∠BCD+∠BAD=180°，由旋轉(zhuǎn)對稱性可知:∠BCD=∠DAC'，BD=DC'．BC=AC' =1，所以∠BAD+∠DAC=180°，所以B、A、C'三點在同一直線上，所以BC'=8，△BDC'是等腰直角三角形，BD=

解法3 如圖4，分別延長AB、DC，兩延長線交于E點．設(shè)BE=a，CE=b，過B點作BH⊥DE，垂足于H點．因為∠ADC=∠ABC=90°，所以∠A+∠DCB=180°．又因為∠BCD+∠BCE=180°，所以∠A=∠BCE．又因為∠E=∠E，所以△EBC∽△EDA，所以，即，所以5a=5+b①．在Rt△ADE中，有AD=CD=5，AB=7，由勾股定理得:AD2+DE2=AE2，即(a+7)2=52+(5+b)2②．把①式代入②式解得(舍去)．所以b=由可得．在Dt△BCH中，在Dt△BDH中，BD=

解法5 如圖5，在四邊形ABCD外部構(gòu)造矩形ADEF．設(shè)CE=a，BE=b，那么BF=5－b，AF=5+a．由△AFB∽△BEC可得，即

在Rt△BDE中，

總之，這是一道好題，對培養(yǎng)學生的綜合分析問題能力，所求問題轉(zhuǎn)換圖形的轉(zhuǎn)換的思考很有益．一題多解的自然產(chǎn)生，基于扎實的數(shù)學思想、準確的切入點、教學問題的轉(zhuǎn)換、一定的解決方法和解題技巧．建立教學模型，達到舉一反三的效果．

復雜問題簡單化，通俗易懂，符合學生的認知規(guī)律，有時圖形轉(zhuǎn)換能力要求較高，但解法的確來源于學生，對于不會做的通過講解，很容易接受，因此也屬于較自然的解法．

［1］文東．明晰本質(zhì)，自然構(gòu)造［J］．中學數(shù)學教學參考:中旬，2016(3):35－36

［2］王忠剛．一題多法的產(chǎn)生力求自然［J］．中學數(shù)學教學參考:中旬，2016(3):40－42

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1008－0333(2016)32－0025－01