初中生幾何語言訓練的幾點思考

陳富奎

[摘 要] 幾何語言是幾何學科的重要組成部分，是學生與幾何學科相銜接的橋梁. 在教學過程中，教師需要從圖形語言、文字語言與符號語言三方面入手，深化學生對幾何語言的理解，強化相關概念，培養學生數圖轉換的能力，同時還要將這三者聯系起來綜合運用，使之融會貫通.

[關鍵詞] 幾何語言；文字語言；符號語言；圖形語言；理解；聯系

什么是幾何語言？筆者發現很多同行存在理解上的誤區，比如有人認為“在教學時經常將圖形以語言的形式進行使用，因此稱其為圖形語言”，這就易使圖形語言等同于一般所說的“描述圖形所用的文字語言”. 事實上，這里的“語言”是廣義的，幾何語言包括幾何作圖過程中圖形所展示的信息，即圖形語言，也包括描述幾何現象時用的文字語言，還包括用于推理、表述幾何關系的幾何符號語言. 初中生雖然在小學里已經學過幾何知識，但由于小學生抽象邏輯思維能力不足，所以安排在初中階段才學習規范的幾何語言. 幾何語言是學習幾何的基本功，也是培養學生良好學習習慣、提升學生數學思維品質的渠道，所以教師對此要引起足夠的重視.

現實中，很多教師到學生快畢業了才感到問題的嚴重，因為學生的推理過程表達中張冠李戴、前言不搭后語的現象屢見不鮮，很多學生還不會對畫圖過程進行口頭描述，甚至不能根據規范的符號語言作出相應的圖. “萬丈高樓平地起”，幾何語言在幾何教學中的重要性不言而喻，所以從初一時就開始進行幾何語言的系統訓練非常重要.

在理解的基礎上運用文字語言

幾何概念、定理、性質一般都是通過語言來敘述的，它的特點是用詞精確、表達嚴謹，不能隨意改動. 學生學習幾何性質與定理要防止死記硬背. 對于這些文字語言，應該讓學生首先理解其義，防止產生理解上的歧義. 對于文字語言的教學，我們應該在理解上下功夫.

1. 分解語義

同一種幾何語言往往包含多層意思，這時我們要對語言進行分解. 比如“過直線外一點有且只有一條已知直線的平行線”，這句話表達了什么含義？學生分析后，教師可以通過多項選擇題的方式讓學生選擇“有且只有一條”的意思：①過直線外一點可以作一條已知直線的平行線；②過直線外一點只可以作一條已經直線的平行線；③過直線外一點可以作無數條已知直線的平行線. 很明顯，這里包含了上面①與②兩項的含義.

2. 補充場景

教材對有些語言作了簡縮處理，比如初一教材中的“對頂角相等”，其實應該是“兩條直線相交后所產生的兩對對頂角分別相等”. 這樣學生更易理解“對頂角”所指的場景是“兩條直線相交”，而不是“三角形的其中兩個角”，也不是“內錯角”，這樣能有效防止張冠李戴.

3. 正反貫通

在幾何概念中，有不少概念與其性質之間是充要條件的關系，此時不妨把概念與性質之間來個正反聯系，提升學生的理解層次.

比如，“如果一個角是直角，那么它等于90°”，也可以反過來說，即“如果有一個角等于90°，那么它是直角”. 再如，“如果兩個角的和是90°，那么這兩個角互余”，也可以反過來說，即“如果兩個角互余，那么這兩個角之和等于90°”. 這樣不但能使學生充分理解概念與其性質的關系，而且能防止概念的外延與內涵發生偏差.

4. 聯系生活

幾何是抽象的，但它離不開生活實例. 聯系生活是為了促使學生更好地學習，促進幾何語言的深入理解與運用. 比如“兩點之間，線段最短”，我們可以舉一個生活中的事例：“每次上體育課回教室的時候，總有那么幾個同學看到教室面前那塊草坪不肯沿邊框走，而是從草地上直接跨過去，請你對此發表看法：（1）他們為何這樣做？（2）他們這樣做有什么后果？”具體討論為何這樣做的時候，可以讓學生通過畫圖來分析，找到“兩點”之間可以走的幾條路線，然后用“兩點之間，線段最短”來得出結論.

作圖過程中對于圖形語言的規范操作

圖形語言是通過識圖、作圖來表達幾何特征，圖形語言比文字語言更直觀、易于理解，更便于學生進行直觀學習與研究.

1. 避免只作出特殊情況

由于一般圖形中往往包含著特殊的情形，所以在幾何研究過程中，圖形的作圖方式會干擾研究的結果. 比如對于角的教學，由于舉生活中的例子時，教師可能借用了桌子角、黑板角的現象，如果把畫一個角畫成直角，就會誤導學生產生角等于90°的觀念. 再如，“找到線段上的一點”不要去找中點，畫三角形時不要畫成等腰三角形，畫長方形時不要畫成正方形等.

2. 教會學生識別復雜的圖形信息

自己或別人作好了圖，就要學會識圖，一般的圖形識別是不存在問題的，對于部分復雜的圖，要學會用特殊的方法來認識與理解它. 比如畫一條線段，然后在線段中再找三個點，此時一共有幾條線段？教師可以引導學生用分類的方法去找，這時分類的方法能使學生更好地識別圖形信息，有助于圖形語言能力的升華.

3. 對于作圖過程表達的規范性

作圖以后，能把作圖過程表示出來是一項基本功. 比如“連接A，B兩點”“畫過A，B兩點的直線”，這是兩種過程，要學會區分，作圖時的表達不能隨意亂用. 再如“延長AB交CD于點E”“延長AB，使BC等于AB”“以點C為圓心、3 cm長為半徑畫圓，與直線AB交于點E”之類的表達語言都需要與實際操作對應起來，字母與相應的點對應并形成規范.

學會符號表達

用符號表達圖形信息比用文字表達更簡潔、明了、嚴謹而實用，不同的符號有不同的含義，需要科學規范地運用. 初中生由于剛涉及幾何符號，所以往往會犯一些錯誤，這時便需要教師經常化、科學化地進行提醒.

比如對于角的表示有多種方法，教師在教給學生以后要進行強化，可進行一些分類的改錯訓練，如①字母標識位置不清或者沒標識；②類似∠1，∠α的表示沒有在圖上標出相關數字或字母；③點A處有多個角，所寫的∠A不知是哪個角. 通過訓練，在今后的教學中，教師還要不斷地讓學生檢查是否表達有錯，在書寫完畢后對照圖形再讀一次，使所學知識及時化為相應技能.

貫通三種幾何語言

以上我們分別從文字語言、圖形語言與符號語言三個角度分析了學生幾何語言運用中需要注意的教學問題，事實上，三種幾何語言在形式上雖有不同，其內涵卻是一致的. 教學中還要引導學生學會互譯，達到融會貫通.

首先，要嘗試將三種幾何語言達成含義上的一致，能不斷轉換. 比如文字形式的表述“CD垂直于AB，交點是O”用圖形語言來表示即為圖1，用符號語言表示則是“CD⊥AB，垂足為點O”.

其次，要學會用既符合要求又不會導致誤解的圖形來準確表達幾何關系. 如對于補角的概念，很多學生總認為補角必須是在一起且拼起來成為一個平角的兩個角（即鄰補角），于是教師讓學生嘗試畫出∠1+∠2=180°，很多學生畫出了鄰補角的情形，這時教師通過幾何畫板拖動∠2使兩角分開后，問此時∠1與∠2是否互為補角，學生經過思考后認為還是，這樣就可以強調：兩個角拼成平角是兩個角互補的一種特殊情況，這種特殊情況下的兩個角是鄰補角的關系，這樣學生就修正了概念的內涵，擴大了概念的外延，獲得了準確的概念，而且學生也懂得了畫圖時盡量畫一般情況，避免特殊情況對幾何學習的干擾的道理.

另外，學生要學會用不同的文字語言形式表示同一種圖的意思，從而強化理解. 比如“等腰三角形三線合一”的性質可以完整地說成“等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高與頂角的平分線三線合一”. 但具體理解的時候，還有以下說法：“等腰三角形頂角的平分線垂直平分對邊”“等腰三角形底邊上的高平分底邊與頂角”“等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊且平分頂角”. 通過不斷的訓練，可以有效地增強學生運用數學語言的能力，培養學生幾何語言的表達能力，而且能深化對這一性質的理解.

總之，幾何語言并非傳統意義上“語言文字”中的語言，而是包括了圖形信息在內的綜合的廣義的語言. 雖然借助幾何語言可以直觀地表示幾何圖形的關系，并沒有其他符號語言那樣抽象難懂，但要掌握好這一語言也并非易事，它需要教師在教學過程中不斷地轉換提問形式，讓學生在實踐中不斷強化學習效果，最終形成幾何語言的良好感覺，這樣才能在實踐中實現無意識的自然幾何語言轉化，實現幾何學習的智能升華.