關于橢圓和雙曲線中點弦問題的幾個結論

云南省紅河哈尼族彝族自治州第一中學(661400)

馬 宏●

關于橢圓和雙曲線中點弦問題的幾個結論

云南省紅河哈尼族彝族自治州第一中學(661400)

馬 宏●

橢圓和雙曲線的中點弦問題是解析幾何中的一大重點，也是一大難點，同時也是高考考查的一個熱點.為此，我們有必要對它進行深刻的研究.本人在研究過程中發現了以下幾個結論，供大家參考.

證明 由題意可設A,B兩點的坐標分別為：A(x0+Δx,y0+Δy),B(x0-Δx,y0-Δy)，

兩式相減，并整理得b2x0Δx+a2y0Δy=0,

(這種證明方法稱為“增量法”，在解決中點弦問題時發揮了巨大的作用，建議學生掌握.)

證明 同結論一(略).

證明 同結論一(略).

證明 同結論一(略)

參考答案解析：本題考查直線與橢圓的位置關系、設而不求、中點公式、斜率公式.

解 顯然a2-b2=9，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則

點評 這種算法比較常規，但對學生的計算能力要求非常高，故很多學生都無法完成.

若用上面的結論，解法如下：

又a2-b2=9,解得a2=18，b2=9.

點評 這種算法簡潔明了，對學生的計算能力要求不高，而上面的結論也不難記憶，故大多數學生都能完成.

例題2 (2010年全國高考寧夏卷)已知雙曲線E的中心為原點，F(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A,B兩點，且AB的中點為M(-12,-15),則E的方程式為( ).

又a2+b2=9,解得a2=4，b2=5.

解決橢圓和雙曲線的中點弦問題時會經常出現，故掌握以上幾個結論是非常有必要的.

G632

B

1008-0333(2017)07-0013-02