高中數學教學中需要的“雙基”
——以《直線與圓的位置關系》為例

陳海珍

（邵武第一中學，福建 邵武 354000）

高中數學教學中需要的“雙基”
——以《直線與圓的位置關系》為例

陳海珍

（邵武第一中學，福建 邵武 354000）

文章從《直線與圓的位置關系》出發，在情境創設和教學流程等方面談教學過程需要怎樣的基礎知識和基本技能。在情境創設中利用王維的詩句“大漠孤煙直，長河落日圓”，使圓與直線的位置關系這一抽象的知識與學生早已耳熟能詳的古詩發生聯系，使直線與圓的位置關系的知識固著點變得豐富，變得形象生動。在教學流程上，通過設計水平變式和垂直變式闡述變式是高中數學所需的基本技能。

基礎知識；基本技能；水平變式；垂直變式

一、溝通聯系：基礎知識建構的教學訴求

基礎知識一般指數學體系中重要的、基礎性的概念和命題，是學生繼續學習的重要基石。從構建主義的觀點分析，學生對新知的學習既要與原有的知識體系建立聯系，產生縱向的知識延展，又要與新學習的其他知識有效互動，發生橫向聯系，進而形成較為穩定的知識結構和體系。如《直線與圓的位置關系》的教學過程中便可以很好地體現這一特點。

其一，溝通知識間的縱向聯系，尋找知識固著點。如在課的引入階段，先復習初中階段學習過的直線與圓的位置關系，引導學生及時尋找到本節課所學內容的“歷史”位置，使該節課所學的知識變得“熟悉”。同時，還可巧妙地利用王維的詩句“大漠孤煙直，長河落日圓”，使圓與直線的位置關系這一抽象的知識與學生早已耳熟能詳的古詩發生聯系，使直線與圓的位置關系的知識固著點變得豐富，變得形象生動。

其二，溝通知識間的橫向聯系。該課的核心知識是圓與直線的位置關系，共有三種，即相離、相切、相交。這三者從靜態的角度看，是獨立的、平行的關系，從動態的角度看，是連續的、一體的。首先，借助落日“下沉”，讓學生感覺到這三種關系從量變到質變的動態過程，突出這三種位置關系的一體性。其次，通過呈現直線與圓的位置關系圖示、分析半徑與距離的關系、討論判別式與位置關系之間的對應關系，建立圖示、交點、方程解在直線與圓位置關系方面的聯系。最后，通過設計變式呈現直線與位置關系的不同表征形式和類型，建立解決直線與位置關系的不同方法之間的聯系。這樣可以有效把握知識之間的聯系，并根據知識之間的聯系組織教學，有利于學生在學習過程中自主找到知識的生長點，進而順利將新知納入原有知識結構。

二、提供變式：基本技能掌握的教學訴求

狹義地講，基本技能指運用一些常見的、基本的程序性解決問題的行為能力［1］；廣義地講，運用已掌握的基礎知識解決問題的行為能力，也算基本技能的范疇。

我們反對重復的、機械的技能訓練，但不否認技能的形成必須借助一定的練習來完成。要避免簡單重復的技能訓練模式，就必須創設變式情境，引導學生形成、強化基本技能。在教學過程中，可圍繞求圓與直線的位置關系這一核心技能設置系列的變式練習，促使學生實現從基礎知識到基本技能的轉化，實現直線與圓位置關系判定及應用技能的靈活發展，同時讓學生在形式的變化中體會數學核心知識的“不變”。

所謂變式，即變化事物的非本質屬性，如情境、形式、數量等，在眾多“變”的映襯下凸顯事物“不變”的性質，而這些“不變”的性質常常是事物的本質。［2］因此，變式既有利于提取事物的本質屬性，也有利于人們靈活運用事物以應對不同的情境或任務。具體到《直線與圓的位置關系》教學而言，文章設計了兩種變式。

其一，水平變式。所謂的水平變式，即變化前后信息和思維基本上處于同一水平層次，一般而言，能豐富學生的認知活動，但不會給學生帶來認知上的負荷。如在學生解決完例1（圓的方程為x2+y2+2y-4=0，可化簡為 x2+（y-1）2=5，直線方程為 3x+y-6=0），即判斷位置關系和求交點后，提供變式1:當r取何值時，直線l：3x+y-6=0 和圓 C：x2+（y-1）2=r2相切、相交、相離？將圓的方程換成x2+（y-1）2=r，要求學生判斷直線與圓的位置關系。 接著提供變式 2：判斷直線 l：（1+m）x+（1-m）y-2=0（m∈R）與圓：x2+（y-1）2=5 的位置關系。要求學生判斷直線與圓的位置關系。這幾個地方的變式，變化的都是圓或直線解析式的形式，且基本上是用同樣的方法判斷直線與圓的位置關系。這樣的教學設計，能豐富學生對“形式”的理解。

其二，垂直變式。所謂垂直變式，指不僅改變了事物的呈現形式或表達形式，常常也改變了思考方式或方法策略，呈現出一定的層進性特征。在變式2的基礎上，提供變式 3：過點 P（2，4）的直線 l與圓 x2+（y-1）2=4相切，試求l的直線方程，并求其切線長。要解決變式3的問題，學生需要先求直線方程，并綜合點到直線的距離公式等解決問題。進而提供變式4：若過點P（3，4）的直線 l與圓 x2+（y-1）2=4 相切，試求其切線長。同樣是求切線長，但可直接從“是否需要求切點”引入，實現方法上的轉移——從利用點到直線的距離轉向利用勾股定理解決問題。最后提供變式5：自直線l：x+y-2=0上的任一點向圓x2+y2=1引切線，求切線長的最小值。使切線長“動起來”，同時蘊涵著轉化思想（以非切線的OP最小值確定切線長的最小值）。很顯然，這樣的變式，帶給學生的不僅僅是“豐富”，還常常伴隨形式、思維或方法的“突破”。

變式教學，需要研究“變什么”“怎么變”，而“變什么”“怎么變”必須建立在對知識本質的深刻理解和對學生思維特點的準確把握的基礎之上。

三、合理滲透：隱性知識［3］獲得的教學訴求

目前，雖然高中階段還沒有正式提出基本活動經驗和基本思想等教學要求，但高中階段對思想方法的關注由來已久，對知識形成過程和知識獲得過程也日漸關注。

事實上，任何知識和技能的獲得都不可能是單一的，必然伴隨著學習者探索或建構知識、形成技能的過程性情緒體驗和思維活動，而這些恰恰是隱性知識的重要組成部分。可以說，不管有意還是無意，教學過程都會影響學生隱性知識的發展。

其一，學生經歷了知識建構過程。從整體來看，本節課以“變”研究“不變”，學生經歷了直線和圓的解析式逐步變化、豐富的過程，經歷了解決直線與圓位置關系問題的從簡單到復雜的過程。在這一過程中，學生模糊、零散的知識逐步變得清晰，變得具有結構性，同時也會獲得豐富的活動體驗。為了使學生的體驗更清晰和深刻，教師除了自己適時總結概括，如果能引導學生進行適當的交流、提煉，就可能更有利于學生學習經驗的內化和提煉，更有利于學生將來有效遷移本課中獲得的學習體驗或經驗。

其二，學生獲得了數學思想的陶冶。在該課的教學中，注重轉化思想，引導學生不斷地建立新問題與舊問題的聯系，將新問題轉化成舊問題解決，同時抓住變中的不變。《義務教育數學課程標準 （2011年版）》中所說的“數學的基本思想”指的是抽象、推理、建模。處于“數學的基本思想”下一層次的數學思想還有很多。教師要結合教材編排體系和學生的接受能力合理取舍、有所側重地進行數學思想的滲透，還要結合情境讓學生學會融會貫通、靈活應用。學生的數學學習只有“學結構，用結構”，才能以不變應萬變，才能真正讓學生輕松又靈活地掌握基礎知識，形成基本技能，積累基本活動經驗，感悟基本思想。

［1］包旭苗.初中數學基本技能教與學現狀的調查研究［D］.揚州:揚州大學，2010.

［2］聶必凱.數學變式教學的探索性研究［D］.上海:華東師范大學，2004.

［3］李永新，毛鳳梅.新數學課程標準實施中的隱性知識教學［J］.平頂山學院學報，2006（10）.

G420

A

1673-9884（2017）08-0060-02

2017-06-19

陳海珍，女，邵武市第一中學一級教師。