基于Pirie—Kieren數(shù)學(xué)理解模型的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略初探

吳蕾++韓保席

[摘 要] Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型直觀地描述了學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過程和本質(zhì)，是從認知的觀點全面認識數(shù)學(xué)理解的理論. 本文從創(chuàng)設(shè)問題背景，引發(fā)積極理解意向；創(chuàng)設(shè)探究活動，促進產(chǎn)生概念表象；創(chuàng)設(shè)反思對比，引導(dǎo)認識概念本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)應(yīng)用問題，促使獲得理性認識這四個方面，闡述如何運用Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型設(shè)計弧度制的教學(xué)，擬對高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)策略進行探討，從而構(gòu)建促進關(guān)系性理解的數(shù)學(xué)課堂.

[關(guān)鍵詞] Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型；高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

全美數(shù)學(xué)教育研究中心（National Center for Research in Mathematical Sciences，簡稱NCRMSE）認為，在理解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解已成為世界數(shù)學(xué)教育的共識. 近十幾年來，NCRMSE一直呼吁要在美國建立促進理解的數(shù)學(xué)課堂. 我國的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》也強調(diào)：“教學(xué)中應(yīng)強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解. ”本文將從“弧度制”的教學(xué)實際出發(fā)，基于Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型，擬對高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)策略進行探討，從而構(gòu)建促進關(guān)系性理解的數(shù)學(xué)課堂，以期拋磚引玉.

[?] Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型介紹

Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型是由Pirie和Kieren提出來的，它直觀地描述了學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過程和本質(zhì)，是從認知的觀點全面認識數(shù)學(xué)理解的理論. 這個模型由8個不同的理解階段組成，即初步了解、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察評述、構(gòu)造化與發(fā)明創(chuàng)造.

[?] “弧度制”的教學(xué)設(shè)計

弧度制是三角函數(shù)這一章中引進的度量角的一個新概念，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點.弧度制教學(xué)過程中能基本包含Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型的8個不同的理解階段，運用Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型設(shè)計弧度制的教學(xué)如下：

1. 創(chuàng)設(shè)問題背景，引發(fā)積極理解意向

根據(jù)Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型，數(shù)學(xué)理解模型的第一水平是初步了解階段，指了解概念的有關(guān)方面及一定的推論. 數(shù)學(xué)理解一般起源于利用具體材料、圖形符號等進行的數(shù)學(xué)活動. 數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是一個從具體背景中抽象出共同本質(zhì)特征的過程. 學(xué)習(xí)一個新的概念，必須讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)這一概念的必要性，教學(xué)中進行概念的背景分析特別是對于比較抽象的數(shù)學(xué)概念來說尤為重要，這就需要我們教師從生活實例中及數(shù)學(xué)知識的發(fā)展體系中創(chuàng)設(shè)問題背景，給學(xué)生提供豐富的感性認識的材料，使學(xué)生在問題背景中自發(fā)地思考問題，積極地理解問題.

【案例1】 《弧度制》——創(chuàng)設(shè)情境，提出課題

師：回到數(shù)學(xué)中，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了任意角的概念，對于任意角的度量，我們是用“度”為單位的. 如何定義1度角？

師：我們能否重新選擇角的單位，如“拿”圓周上其他長度的弧長所對的圓心角作為角的單位？使得在該單位制下兩角的運算與常規(guī)的十進制加減法一樣簡便呢？

設(shè)計意圖：以上問題背景的設(shè)置中，學(xué)生從生活中的度量單位及數(shù)學(xué)度量單位的使用上初步了解了學(xué)習(xí)弧度制的必要性，在頭腦中建立了弧度制與具體事物相聯(lián)系的感覺，激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲，進一步引發(fā)學(xué)生對弧度制這一新的度量制度的理解的意向.

2. 創(chuàng)設(shè)探究活動，促進產(chǎn)生概念表象

數(shù)學(xué)理解模型的第二水平是產(chǎn)生表象. 在這一水平，能根據(jù)先前的了解逐步產(chǎn)生表象，歸結(jié)出它的特征，并以新的方式運用. 從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”創(chuàng)設(shè)探究問題與活動，引導(dǎo)學(xué)生開展探究學(xué)習(xí). 在探究學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以從多角度深入地剖析數(shù)學(xué)知識，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，使他們在面對實際問題時，能更容易地激活數(shù)學(xué)知識，促進產(chǎn)生概念表象.

【案例2】 《弧度制》——新知探究、建構(gòu)數(shù)學(xué)

探究l，r，α之間的關(guān)系：

問題1：弧長等于半徑的弧所對的圓心角的大小與所在圓半徑的大小是否有關(guān)？

問題2：在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角的大小α與有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：學(xué)生通過問題1和問題2的探究，體驗了l，r，α之間的關(guān)系，從而為生成弧度制的概念奠定基礎(chǔ). 兩個探究問題的設(shè)置，使學(xué)生在“分析與假設(shè)”這一微型探究學(xué)習(xí)的過程更加細致，讓不同基礎(chǔ)的學(xué)生在探究活動中都有收獲. 讓學(xué)生參與到概念背景分析及自我定義、自我發(fā)現(xiàn)的建構(gòu)中去，激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣.

學(xué)生探究以上兩個問題的活動過程也就是“制作表象”的過程. 在探究問題2的過程中，學(xué)生通過自行計算、觀察與交流能夠猜到“圓心角不變，則比值不變”，但是沒法證明的時候，說明他們已經(jīng)在“制作表象”了. 同時學(xué)生就會有更強的探究的欲望去證明自己的猜想，實現(xiàn)思維的真正參與. 因此，在概念教學(xué)中，注重讓學(xué)生通過探究過程去參與、體驗和掌握研究數(shù)學(xué)的方法，使學(xué)生的生活經(jīng)驗、已有知識的作用得到充分發(fā)揮，促進產(chǎn)生概念的表象的同時，增強學(xué)生的探究能力與思維的發(fā)展.

3. 創(chuàng)設(shè)反思對比，引導(dǎo)認識概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)理解模型的第三至第五水平分別為：形成表象、關(guān)注性質(zhì)及形式化.概念的形成過程也是新舊知識之間相互影響的過程，因此，在概念教學(xué)中幫助學(xué)生加強新舊知識之間的聯(lián)系，重視在概念表象形成、性質(zhì)的預(yù)測與記錄及形式化的過程中進行知識之間的類比、反思與比較，使學(xué)生帶著解決外層水平不能解決的問題，可以隨時返回到前面的某一水平做補救性的內(nèi)層水平的思考，從而使學(xué)生逐步從內(nèi)部水平向外部水平發(fā)展，建立較深的認識水平，從而認識概念的本質(zhì).

【案例3】 《弧度制》——對比研究，意義建構(gòu)

（1）弧度制單位的確定

弧度制的定義（略）.

問題1：弧度制單位與角度制單位有何區(qū)別？

（2）弧度的推廣及角的弧度數(shù)的計算

問題2：若圓的半徑為r，則弧長為2r的弧所對的圓心角（正角）的弧度數(shù)是多少？

問題3：若圓的半徑為r，則弧長為3r的弧所對的圓心角（正角）的弧度數(shù)是多少？

問題4：若圓心角∠AOB表示一個負角，且它所對的弧的長為3r，則∠AOB的弧度數(shù)是多少？

問題5：若圓的半徑為r，則弧長為l的弧所對的圓心角的弧度數(shù)是多少？

學(xué)生通過之前的探究證明，逐步形成“弧度制”這一數(shù)學(xué)概念的表象，也容易理解為何如此定義弧度制. 設(shè)置問題“弧度制單位與角度制單位有何區(qū)別”促使學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，并形成反思、比較這樣的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生對舊知識的理解的同時，引發(fā)學(xué)生進一步地“關(guān)注性質(zhì)”. 通過問題串的設(shè)置，促進“角α的弧度數(shù)的絕對值”的計算公式的形成，在這一過程中，學(xué)生掌握了“角α的弧度數(shù)”的形式化，學(xué)生對“角α的弧度數(shù)”的理解有了質(zhì)的飛躍，不再需要借助表象來發(fā)展理解，而是可以直接利用這一形式了.

4. 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用問題，促使獲得理性認識

數(shù)學(xué)理解模型的第六至第八水平分別為：觀察評述、構(gòu)造化與發(fā)明創(chuàng)造. 在構(gòu)造化水平階段，學(xué)生能將形式的觀察評述轉(zhuǎn)化為定理法則. 了解了一組定理間的相互關(guān)系后，通過邏輯等方式驗證或證實它們，并且學(xué)生在做“結(jié)構(gòu)化”活動時，不需要考慮觀察評述的內(nèi)容. 但是他們可以回頭做一些溫故知新的活動，也體現(xiàn)了理解模型的特點之一——理解并不是單向地由內(nèi)向外發(fā)展，也不只是可以在某處徘徊或停頓. 因此，在概念教學(xué)中，設(shè)置有關(guān)概念的應(yīng)用問題，促使學(xué)生牢固掌握概念的形式與性質(zhì)，進一步地深化思維.

【案例4】 《弧度制》——公式探索，應(yīng)用變式

弧度制下的扇形面積公式推導(dǎo)：

問題1：在角度制下，扇形面積公式如何表示？

問題2：在弧度制下，扇形面積公式又如何表示？

給出例題：已知扇形的周長為8 cm，圓心角為2 rad，求該扇形的面積.

給出變式訓(xùn)練：周長為20 cm的扇形，當(dāng)圓心角為多少弧度時，其面積最大？

設(shè)計意圖：類比角度制下扇形的面積公式，學(xué)生自主探索弧度制下扇形的面積公式，從而學(xué)會運用弧度制的概念，并體會到弧度制的優(yōu)越性，促進學(xué)生對角的度量方法的認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)及知識意義的建構(gòu)，使學(xué)生體會到角的度量是一個有緊密內(nèi)部聯(lián)系的整體，這些聯(lián)系是可以通過自己的努力去探索與嘗試并且建立起來的，從而對弧度制概念建立理性的認識，同時建立起正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀.

[?] Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用的誤區(qū)

學(xué)生的數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)能否順利完成與教師能否設(shè)計出科學(xué)的、合理的、符合學(xué)生實際的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計有關(guān).教師在應(yīng)用Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型時，應(yīng)避免以下幾個誤區(qū)：

（1）完整設(shè)計理解模型的8個階段. 由于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)不同，不是所有的概念學(xué)習(xí)都需要經(jīng)歷8個階段. 比如數(shù)學(xué)的原始概念教學(xué)，或許從“初步了解”就可以直接“形式化”. 概念教學(xué)設(shè)計中，需要因概念的不同而選取階段的設(shè)計.

（2）回歸過程中遵循層層回歸. 在學(xué)生理解概念的過程中，因?qū)W生的個人理解能力及教師創(chuàng)設(shè)的情境等因素，學(xué)生在回歸的過程中，經(jīng)常產(chǎn)生跳躍回歸的情況，因此，我們在教學(xué)設(shè)計及教學(xué)過程中，要充分考慮概念及學(xué)生的差異.

總之，數(shù)學(xué)理解是一個由學(xué)生自己積極構(gòu)建的過程. Pirie-Kieren數(shù)學(xué)理解模型可以讓我們教師轉(zhuǎn)變對數(shù)學(xué)理解的觀念. 數(shù)學(xué)理解是一個復(fù)雜的、動態(tài)的過程，需要我們細致地深入觀察學(xué)生所處的理解水平，創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生理解水平的學(xué)習(xí)活動，從而使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)基于學(xué)生的理解，促進學(xué)生的理解，發(fā)展學(xué)生的理解.