淺析“翻棋”游戲與數學中的轉化分類和標準形

毛傳林

【摘要】本文通過研究探討對角線“翻棋”游戲，深入淺出地說明轉化，分類，然后確定研究對象的標準形這一深刻的數學思想。

【關鍵詞】翻棋 分類 標準形 等價關系

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）08-0132-01

眾所周知，所有的整數能夠被分成奇數和偶數兩大類， 我們也經常選0作為偶整數這一類的代表， 選1作為奇整數這一類的代表。我們這里，嘗試使用一種對角線“翻棋”游戲作為研究對象，向同學們說明轉化，分類，確定標準型這一深刻的數學思想。

一、 1×1方格和2×2方格

為了方便描述， 對于n×n方格中的一個格子， 如果其從上往下數位于第i行，從左往右數位于第j列，那么我們就將其編號為（i，j）。 稱第1行、第n行、第1列和第n列中的方格組成的圈，為n×n方格的邊界。如果（i，j）是邊界中的一個方格，那么我們說由（i，j）開始，從左上往右下的對角線為（i，j）-主對角線；由（i，j）開始，從右上往左下的對角線為（i，j）-反對角線。

3×3方格里面9個棋子，每個棋子正反面又分別有黑白兩種顏色，這樣對應的圖形將會產生29（=512）種可能情況，似乎太多了點。我們先來考慮1×1方格和2×2方格兩種較為簡單的情況吧。

很容易看到1×1方格只有一個格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者說經過0次T操作，就把全部棋子變成黑色朝上了；如果是反面白色朝上，那么只需要經過1次T操作，就可以把全部棋子變成黑色。所以，可以得到結論：

對于1×1方格，不論棋子怎么擺放，我們都可以經過有限次T操作，將棋子全部變為黑色朝上。

命題1：我們規定，如果兩個圖形，可以經過有限次T操作相互轉化，那么這兩個圖形被說成是同為T類的；否則，被說成不是同為T類的。

問題：2×2方格下棋子的圖形，經過有限次T操作，可以分為多少個不同的T類？

在2×2方格的情況下，我們發現全部16種圖形之間都可以通過T操作相互轉化。 所以2×2方格下棋子的圖形，只有一個T類。這樣，我們也可以得到下述結論：

對于2×2方格，不論棋子怎么擺放，我們都可以經過有限次T操作，將棋子全部變為黑色朝上。

二、3×3方格

3×3方格中棋子對應的圖形的情況有29（=512）種之多，不可能像2×2方格時那樣一一羅列出來，該怎么辦呢？我們發現，在處理2×2方格時，通過圖形間的轉化，分類，并確定標準形的是可以使用的。

先來想象一下，對于3×3方格中位于第一列中的棋子，從上往下數，如果第i行中的棋子是白色的，那么我們就對（i，1）-主對角線進行一次T操作；對于位于第一行中的棋子，從左往右數，如果第j列中的棋子是白色的，那么我們就對（1，j）-主對角線進行一次T操作；對于位于第3列中的棋子，從上往下數，如果第i（i>1）行中的是白色的，那么我們就對（i，3）-反對角線進行一次T操作。最后，我們得到的圖形，第1行3個格子，第1列3個格子和第3列3個格子里面的棋子一定都是黑面朝上。這樣的一個圖形我們稱之為標準形。綜合上面的分析，我們可以得到下述命題：

命題2：令X是一個3×3方格棋子的圖形，那么可以經過有限次T操作，將圖形X變成一個第1行3個格子，第1列3個格子和第3列3個格子里面的棋子都是黑面朝上的標準形。

下一個自然要解決的問題就是，3×3方格下棋子圖形的標準形有多少種？

命題3： 3×3方格下棋子圖形的標準型有4種。

證明：對于一個3×3方格下棋子圖形的標準形，我們去掉第1行，第1列和第3列的格子和棋子，得到一個2×1方格下棋子的圖形。而2×1方格下棋子的圖形有4種，通過命題2，3×3方格下棋子圖形的標準形有4種。

三、n×n方格

有了解1×1方格、2×2方格和3×3方格“翻棋”問題的經驗，我們可以嘗試挑戰一下n×n方格對角線“翻棋”問題了。

仔細咀嚼一下命題2和命題3的證明過程，我們發現，對于n×n方格，有和命題2和命題3相似的結論。我們陳述如下，證明由讀者自己完成。

命題4：令X是一個n×n方格棋子的圖形，那么可以經過有限次T操作，將圖形X變成一個第1行n個格子，第1列n個格子和第n列n個格子里面的棋子都是黑面朝上的標準形。

命題5：令X是一個n×n方格下棋子的圖形，經過有限次T操作將X轉化為標準形，那么X只有唯一的一個標準形。

n×n方格下棋子圖形的標準形有多少種？

四、結論

整數分為奇數和偶數，二次曲線分為橢圓和雙曲線。我們對自然界中存在的各種物體，看到的各種現象都在進行著分類，并選出一類中的某個典型代表作為這一類的標準型。物理、化學和數學領域中的科學研究也往往就是在研究某種研究對象的分類問題，其中基本方法論就是，先考慮如何相互轉化，將可以相互轉化的視為一類，達到分類的目的，嘗試在一類中確定一個有代表性的元素作為這一類的標準型。

通過對角線“翻棋”這一簡單而有趣的游戲，在游戲過程中，首先對圖形變化有了樸素的感性認識。然后，利用分類的基本方法論，能夠使同學們在數學上對怎樣分類，如何分類，怎么確定標準型，有個理性認識，從而慢慢理解“等價關系”和“等價類”內涵，最終掌握分類的基本方法論。

參考文獻：

[1]張遠南.使人聰明的數學智力游戲[M].上?？茖W普及出版社.1993