直線和圓的位置關系教學案例

楊佳

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）08-0139-02

一、教學內容解析

本節課是蘇教版必修二第二章2.2.2的內容，是在學習了直線方程、直線與直線的位置關系、圓的方程等之后，用多種方法來研究直線與圓的位置關系。

初中的學習讓學生對直線和圓的位置關系有了初步的認識，學生依據圓心到直線的距離與半徑長的關系判斷直線與圓的位置關系，但從未從“方程”的角度分析直線和圓的位置關系。

研究直線與圓的位置關系，一是從繼續從幾何角度直觀判斷，二是通過直線與圓的方程從“數”的角度進行研究。這體現了數形結合的思想。在此基礎上，重點研究相交和相切兩種位置關系，解決相關問題。

二、教學目標解析

1.了解直線與圓的三種位置關系的含義及圖示。

2.會通過比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小判斷直線與圓的位置關系。

3.從方程角度理解直線與圓的三種位置關系，通過直線與圓的方程所組成的方程組的解的個數來確定對應關系，解決相關問題。

4.通過直線與圓的位置關系的代數化處理，使學生進一步認識到坐標系是聯系“數”與“形”的橋梁，從而更深刻地體會數形結合思想。

三、教學重難點

教學重點：從幾何和代數的角度理解直線和圓相交和相切的位置關系。

教學難點：理解可以通過直線與圓的方程所組成的方程組的解來確定它們的位置關系。

四、教學過程設計

1.問題情境

問題1.一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為50km的圓形區域。已知港口位于臺風中心正北70km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？

設計意圖：讓學生感受臺風這個實際問題中所蘊含的直線與圓的位置關系，思考解決問題的方案。

2.揭示課題——直線與圓的位置關系

問題2.前面問題可以轉化為直線圓的位置關系問題。請問，直線與圓的位置關系有幾種？在平面幾何中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？

設計意圖：從已有的知識經驗出發，建立新舊知識之間的聯系，構建學生學習的最近發展區，不斷加深對問題的理解。

師生活動：引導學生回憶義務教育階段判斷直線與圓的位置關系的思想過程。可以展示下面的表格，使問題直觀形象。

直線與圓的位置關系公共點個數與的關系圖形：

相交兩個 相切一個 相離沒有

3.直線與圓位置關系的判斷

問題3.在平面直角坐標系中，怎樣根據方程來判斷直線與圓的位置關系？

設直線l的方程和圓的方程分別為：Ax+By+C=0， x2+y2+Dx+Ey+F=0

聯立方程組，通過解得組數可得結論：

相交兩組不同解 相切僅有一組解 相離沒有解

綜合問題2和問題3得出表格：

4.例題示范

例1已知直線：x+y-1=0和圓：x2+y2=4，

（1）判斷直線與圓的位置關系；

（2）如果相交，求它們交點的坐標。

設計意圖：通過例題鞏固判斷直線與圓的位置關系方法，關注量與量之間的關系。使學生體驗用坐標法研究直線與圓的位置關系的想法與結論。

師生活動：教師引導學生分析解答。

分析：方法一，判斷直線與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實數解；方法二，可以依據圓心到直線的距離與半徑大小的關系，判斷直線與圓的位置關系。

問題4.在判斷直線與圓的位置關系的不同方法中，你選擇哪一種？

設計意圖：兩種方法的選擇，體驗各自的優越性和其中蘊含的思想方法。

師生活動：學生討論選擇。

5.弦長問題

例1 變式：求弦AB的長度。

設計意圖：直線與圓的位置關系，當他們相交時，學習弦長的求法。

師生活動：學生思考解決，可能有兩種方法：方法一，因為兩個交點坐標分別是，所以用兩點距離公式；方法二，構造直角三角形，先求弦心距，再求弦長。

例2：已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為4，求直線l的方程。

6.切線問題

問題5.我們學過點與直線的位置關系有三種，即點在圓上，點在圓外和點在圓內，如果分別過這些點畫圓的切線，能畫出來嗎，如果能，分別有幾條？

設計意圖：通過學生的具體實踐操作，使學生理解在解決圓的切線問題時，點的位置對切線有非常大的影響，養成先判斷點的位置，再解決切線問題的解題策略。

例3.已知圓：（x-2）2+（y-3）2=1

（1）若自點A（2，2）作圓的切線，求切線方程。

（2）若自點B（-1，4）作圓的切線，求切線方程。

問題6.你還有其他辦法來解決問題嗎？

設計意圖：分別給出點在圓上，點在圓外和點在圓內的三種情況，在解決問題時，學生大多會聯系圖像。作為解析幾何，代數化是基本思想，聯立方程組來解決問題也是非常重要的，甚至在解決問題時還可以把幾何法和代數法綜合起來，尋找最佳解決問題的辦法。

例3 變式：若自點B（1，1）作圓的切線，求切線方程。

設計意圖：在求切線時會遇到切線垂直于y軸，即斜率不存在的情況，用代數法求解時表現為方程只有一個解，這種情況容易被學生漏掉，通過變式訓練來強調。

7.課堂小結

問題7.判斷直線與圓的位置關系有哪些方法？

問題8.當直線與圓相交時，如何求弦長？

問題9.當直線與圓相切時，如何求切線方程？

設計意圖：鞏固所學知識，培養學生歸納概括能力。

師生活動：學生思考，教師引導時應涉及到“如何求弦長”以及判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的步驟是什么？

五、教學目標檢測

1.判斷直線與圓的位置關系，如果有交點，求出交點坐標。

2.求圓被直線所截得的弦長。

3.已知直線和圓，當實數取何值時，直線與圓相交？相切？相離？

分析：可以通過圓心到直線的距離與半徑的大小關系來求解，也可以通過解方程組是否有解來解答，解題時可以借助圖形直觀理解。

六、課后作業

課后習題

七、教學反思

反思一：《直線與圓的位置關系》教學以相交和相切為最重要，教材中問題以直線方程和圓方程聯立的方程組的解的組數來引入位置關系，這樣安排看似體現了解析幾何“計算”的特征，但操作性不強，上課開始學生就需要學生求解一個比較復雜的計算，興趣點容易發散。本案例以學生初中時期對圓的理解的基礎上出發，以圖形為依托，直觀地思考問題，更適合學生和吸引學生，體現了心理學中“最近發展區”的理論觀點，符合學生的認知規律，也體現了數形結合的數學思想，在教學中的效果也非常顯著。

反思二：教材中例題1與例題2的問題安排顯得比較突兀，比較孤立，不利于學生有聯系地思考問題。本案例對例題1的改編，以及對例題1的提出的變式問題，則讓學生體會到了直線和圓相交和相切的本質區別和聯系，讓學生辯證地思考問題，有利于發展學生的思維。例3中通過改變切線經過的點的位置，學生在解決問題中需要周全、有區別地思考問題，從而使本課有機地成為一個問題串，讓本課研究的問題從簡單的問題起步，不斷地提高問題深度，提高思維層次，發展學生的分類思想，以及學生的分析問題和解決問題的能力。

反思三：由于本課內容比較多，問題的提出需要學生有充足的時間思考，在教學中一節課時間顯得不足，問題的解決有點倉促和不到位，需要改進，可以在課前布置前置性的問題進行思考。