關于近世代數的幾點教學體會

武利猛++張娟++鄭國萍++楊曉靜

摘要：近世代數是大學本科數學專業的一門專業必修課，主要講授群、環、域的基本概念和相關理論。作為高等代數的后繼課程，在很大程度上依賴于高等代數的基礎理論和邏輯思維能力，卻又比高等代數理論抽象得多。作者根據自身教學經驗從教學內容、教學方法和教學手段三方面進行了論述。

關鍵詞：近世代數；群；環；域

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）16-0205-02

近世代數是我校數學與應用數學專業的專業必修課，該課程概念眾多，理論知識多以證明為主，具有高度的抽象性，對于集體授課而言，學生很難掌握。近些年來，國內眾多研究者開始運用近世代數的理論知識來解決科學研究問題，這些愈來愈突發出近世代數這門課程的重要性。因此，對于高等學校講授近世代數這門課程的教師而言，更加需認真思考如何更好地講授這門課程。

一、教學內容

在我校，近世代數作為數學與應用數學專業的一門專業必修課，安排在第二學期開設，共54學時，參考教材是楊子胥編寫的《近世代數》。為了讓學生更多地了解近世代數這門課程，同時又不對其缺乏興趣，我校對近世代數這門課程作如下安排：

第一章：基本概念，分配8學時；第二章：群，分配16學時，其中群在集合上的作用因課時關系不講；第三章：正規子群和群的同態、同構，分配8學時，其中群的同構定理和Sylow定理因課時關系不講，留給學生自行閱讀。第四章：環與域，分配18學時，其中非交換環因課時關系，僅留學生課后閱讀；第五章：唯一分解整環，分配4學時，其中歐氏環、唯一分解整環的多項式擴張因課時關系不講。

在教學內容上，注重與高等代數知識的關聯性。如講授唯一分解多項式時，可以認為高等代數中講授的不可約多項式是本門課中的一個特例，也可以認為近世代數所給的結論是高等代數所給結論的推廣。

二、教學與教學手段

隨著科學技術的發展，多媒體技術已不斷走進課堂。近世代數作為一門數學專業的專業課程，很多教師在講授時會利用傳統的教法，即板書去教學。我校在講授近世代數時是利用投影儀、PPT以及板書相結合的形式教學的。這樣在教學中會有很多的好處：第一，省去了大量寫定義和定理內容的時間；第二，如果需要講授名人傳記或者顯示彼此關系時，PPT會更加直觀；第三，對于人數較多的大班集體授課時，PPT顯示會更加清晰，使得講解更加生動，從而提高課堂效果和學生對課堂內容的理解。

個人認為，學好一門課程，最好的動力就是興趣。然而并不是所有數學專業的學生都對數學感興趣，而且我校數學與應用數學專業的學生大多是調劑而來的，他們并非都喜歡數學。因此培養學生對近世代數這門課程的興趣就尤為重要。在講授第一章基本概念時，教師會運用更多生活中的實例來講解概念；在講授第二章群時，教師會首先給學生講兩位數學家，一位是N.H.Abel，一位是E.Galois。大概會利用十分鐘的時間來講一講兩位數學家的傳奇人生，這雖然占據了一定的課堂時間，但是會引起學生們的興趣，想知道什么是群，取得事半功倍的效果。在講授Cayley定理時，教師會講一講關于A.Cayley的數學工作，這樣學生不但記住了A.Cayley定理，更激發了學生的學習動力。

近世代數關于定義和定理的證明特別多，我校關于近世代數授課只有54學時，而且隨著學校發展的轉型，近世代數課程會減為48學時。因課時有限，不可能全部定義和定理都講，教師會選取合適難度的定義和定理給學生講解。在講授定義和定理證明時，教師會把主要結果顯示在PPT中，而定理證明的過程全部用板書的形式演示。通過幾年的觀察發現把主要結果顯示在PPT中，教師用板書把定理的證明逐步逐條地演示出來效果非常好，因為學生會一直清楚自己在證明什么結果，這樣能夠時刻吸引學生的注意力，有利于學生對知識的掌握。同時在講授定義和定理結束后，教師會盡可能的找一些具體例子驗證結果的成立性。如講授群的定義后會直接驗證整數集合關于普通加法作成一個群，同時指出0是左單位元是固定的元素，任意元素a的左逆元為-a，會隨著a的變化而變化。講授正規子群后會直接驗證：由5的倍數的全體集合作成整數加群的正規子群，同時讓學生寫出兩者所生成的商群；關于商群，大家通過概念知道是群G關于正規子群N的互異陪集的集合，但真正去寫出商群，對于初學者還是很困難的，因此教師會教給學生如何去寫。

在講授近世代數過程中，有很多定理、推論的地方書中都沒有給予證明，教師會對其中重要的理論在課上給予證明，而其他學生感興趣的理論教師會在自習課上講解。教師會在教學中讓學生思考：如果命題中少了一個條件，結論還會成立嗎？讓學生學會舉一反三。如在講解群的定義時會讓學生思考：如果把定義中的左單位元改成右單位元，其他條件不變還和原定義等價嗎？以及把定義中左單位元改成右單位元，其他條件不變還和原定義等價嗎？課上會用例子告訴學生這是不可以的。

每節課，教師都會給學生布置一定量的作業，下一節課會指定學生來講，這樣學生會對相關問題了解得更加透徹。因為只有學生親自計算過，證明過，演示過，才能掌握。只聽不做、只看不想是無法學好數學的。做一定量的作業不但讓學生加深了印象，而且有助于師范生掌握教學技巧，得到一定的鍛煉。

隨著學校向應用型大學轉型，近世代數課程也需要在教學內容、教材和教法上作出改變。通過調查研究發現近世代數中的理論在很多實際問題中如數字通信的可靠性和保密性問題中都有廣泛的應用。因此借助于學校轉型的機遇，教師會思考如何將近世代數課程轉變為應用型課程。

三、結束語

近世代數是一門十分抽象的數學課程，如何讓學生熱愛近世代數，喜歡學習近世代數，是每一位老師都應該認真思考的永恒課題?？傊?，講好一門課需要每一位教師不斷地去思考，不斷地去實踐和總結。

參考文獻：

[1]楊子胥.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]石生明.近世代數初步[M].北京：高等教育出版社，2002.