融合數學之本，運籌帷幄之中

融合數學之本，運籌帷幄之中

徐菊萍

“三角形”是初中數學“空間與圖形”中最基本也是最核心的內容.知識點非常多，考查形式也多樣化，既可獨立成題，又常融入四邊形、圓、函數等知識，以綜合題的形式出現.要對三角形的知識融會貫通，我們可以從以下五個方面來串聯.

一、三角形內部的知識

例1（2016·黃石）如圖1所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A=50°，則∠BDC=（）.

圖1

A.50°B.100°C.120°D.130°

【解析】已知線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，根據線段垂直平分線的性質可得AD=DC，由等腰三角形的性質可得∠A=∠DCA= 50°，進而根據三角形外角的性質可得∠BDC=∠A+∠DCA=100°，故答案選B.

【點評】本題考查線段垂直平分線的性質、三角形外角的性質.不少同學通過內角和先求∠ADC=80°，再用鄰補角求∠BDC，雖然也能求出答案，但不是捷徑，要尋求最佳途徑，需熟練掌握相關性質，并能靈活運用.

例2（2016·廣州）如圖2，已知△ABC，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分線，DE交AB于D，連接CD，CD=（）.

圖2

A.3B.4C.4.8D.5

【解析】已知AB=10，AC=8，BC=6，根據勾股定理的逆定理可判定△ABC為直角三角形，又因DE為AC邊的中垂線，可得DE⊥AC，AE= CE=4，所以DE為△ABC的中位線，即可得DE為BC的一半，值為3，再根據勾股定理求出CD=5，故答案選D.

【點評】本題主要考查勾股定理及其逆定理、中位線定理、中垂線的性質.要熟練掌握三角形的高、中線、角平分線、中位線、中垂線的重要性質，尤其要注意與中點有關的幾條線的區別和聯系.

變式：（2016·達州）如圖3，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E.若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（）.

圖3

A.2B.3C.4D.5

【解析】已知AF⊥BF，AB=10，D為AB中點，根據直角三角形斜邊上中線是斜邊的一半，可得DF=12AB=AD=BD=5，且∠ABF=∠BFD，又因BF平分∠ABC，可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，可判定△ADE∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例或者中位線的性質，可得DE=8，所以EF=DE-DF=8-5=3，答案選B.

【點評】當中點出現在直角三角形斜邊上時，就要聯想到直角三角形斜邊上的中線的性質，結合相似得到三角形中位線，很好地將三角形的重要線段整合在一起.

二、幾類特殊三角形的知識

例3（2016·鄂州）如圖4，AB=6，O是AB的中點，直線l經過點O，∠1=120°，P是直線l上一點.當△APB為直角三角形時，AP=.

圖4

【解析】直角三角形是有一個角為直角的三角形，當△APB為直角三角形，則每個頂點所在的角都有可能為直角，確定P點在直線l上的位置是解決本題的關鍵.

要使△APB為直角三角形，我們就聯想到以AB為直徑的外接圓，但AB也有可能為直角邊，所以要分類討論.我們將滿足條件的P逐一畫在圖上.如圖5，P1，P2在以O為圓心的外接圓上，P3，P4在⊙O的切線上，再根據題目的已知條件逐一解答即可.故本題分以下3類情況討論：

圖5

【點評】本題考查了外接圓、切線、直角三角形的判定、勾股定理、三角函數、分類討論思想.本題難度雖然不大，但容易遺漏，要注意分類討論思想的運用.四種情況中，有兩種情況的結果相同.

例4（2016·懷化）等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則它的周長為（）.

A.16cmB.17cm

C.20cmD.16cm或20cm

【解析】等腰三角形是有兩條邊相等的三角形，相等的兩邊可以是4cm或是8cm，故需要分類討論.分腰長為4cm或腰長為8cm兩種情況：當腰長是4cm時，則三角形的三邊是4cm，4cm，8cm，因為4cm+4cm=8cm不滿足三角形的三邊關系，所以此種情況應舍去；當腰長是8cm時，三角形的三邊是8cm，8cm，4cm，三角形的周長是20cm.故答案選C.

【點評】本題容易出錯的地方在于，一是忘了分類討論，漏掉情況；二是分類討論后忘了用隱含的三角形三邊關系來驗證是否能構成三角形.熟練運用等腰三角形的性質和三角形三邊關系是解題關鍵.

三、兩個三角形的關系

例5（2016·永州）如圖6，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）.

圖6

A.∠B=∠CB.AD=AE

C.BD=CED.BE=CD

【解析】已知AB=AC，∠A為公共角，選項A，添加∠B=∠C，根據“ASA”即可證明△ABE≌△ACD；選項B，添加AD=AE，根據“SAS”即可證明△ABE≌△ACD；選項C，添加BD=CE，由等量關系可得AD=AE，根據“SAS”即可證明△ABE≌△ACD；選項D，添加BE=CD，因為“SSA”不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件，故答案選D.

【點評】全等三角形的判定方法中，尤其要小心兩邊一角對應相等時，如那對角不是夾角，是不能證明兩個三角形全等的.但是特別的，在直角三角形中，兩邊一角中的那對相等的角可以不是夾角，此時用直角三角形特有的“HL“可以證明兩個三角形全等，需要我們好好辨析.

例6（2016·新疆生產建設兵團）如圖7，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，下列說法中不正確的是（）.

圖7

【解析】已知D、E分別是AB、AC的中點，根據中位線的性質定理得到DE∥BC，DE=，再根據平行線分線段成比例定理可得，所以△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質可得以A，B，C正確，D錯誤，故答案選D.

【點評】相似三角形的判定及性質靈活運用，尤其要注意相似三角形的對應邊的比、周長比都等于相似比，而面積比是相似比的平方，本題選項D就是錯在面積比還是等于相似比.

四、兩個三角形的運動變換

圖形的平移、翻折、旋轉三種運動變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀、大小，即運動前后的兩個圖形全等，因此我們把這三種變換稱為全等變換.全等變換的圖形，變換前后對應線段、對應角分別對應相等.我們還要掌握平移、旋轉、翻折的特征，諸如平移的方向、距離，旋轉的方向、旋轉角等，熟悉概念和對應關系是解決此類問題的關鍵.

例7（2016·新疆生產建設兵團）如圖8所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉的角度是（）.角就是旋轉角，可得旋轉角是∠CAC′=180°-30°=150°，故答案選D.

圖8

【點評】本題要分清邊角的對應關系，并理解旋轉角的概念，切勿將∠CAB′看成旋轉角.

我們不難發現，在各地中考中，“三角形”是必考內容，難度系數有大有小，覆蓋面也非常廣，既注重基礎知識和基本技能的考查，又有基本思想的滲透、基本活動經驗的感悟，體現對大家動手能力、空間想象能力、創新意識的考查，因此，我們既要融會貫通地將這部分專題中的知識點整合在一起，由面到線再到點逐步細化、豐富，并能用好幾何語言、圖形語言、文字語言三種語言，學會以基本思想為引領，靈活運用本專題相關知識、技能，更有效地解決相關問題.在復習備考中，我們要觀察更仔細，下筆多分析、多創新，不斷提高數學素養，才能游刃有余地迎戰中考.

（作者單位：南京師范大學附屬蘇州石湖中學）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【解析】根據旋轉角的定義，兩對應邊的夾