“三角形”典型中考題剖析

萬廣磊

“三角形”典型中考題剖析

萬廣磊

“三角形”是多邊形中最基本的圖形，其中重要的知識包括三角形的內角和定理、三邊不等關系、“五線”（高線、中線、角平分線、垂直平分線和中位線）的性質、全等與相似的性質與判定、等腰三角形、直角三角形的性質與判定等，內容豐富，題型新穎，解法靈活，一直是中考命題的核心內容.

一、三角形的內角和定理

例1（2016·鄂州）如圖1所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數為（）.

圖1

A.50°B.40°C.45°D.25°

【解析】本題考查了平行線的性質及垂直、三角形內角和定理.因為EF⊥BD，∠1=50°，所以在△DEF中，∠D=90°-50°=40°，又因為AB∥CD，所以∠2=∠D=40°，故選B.

【評析】解決本類問題常用的方法是利用平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”轉移角度.

二、三角形的三邊關系

例2（2016·南京）下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）.

A.3，4，4B.3，4，5

C.3，4，6D.3，4，7

【解析】本題考查了三角形三邊不等關系與勾股定理.運用三角形三邊不等關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，判定各選項的三邊是否可以組成三角形.首先排除選項D，因為3+4=7，不能構成三角形；然后再用勾股定理判斷，因為3和4的平方和等于5的平方，這是直角三角形，排除B選項；再觀察A選項，最長邊為4，小于5，肯定是銳角三角形；而選項C中，最長邊為6，大于5，一定是鈍角三角形，故選C.

【評析】對于三角形的形狀判定，除了用三角形中最大角的判定方法外，還可結合勾股定理判定：銳角三角形的兩條較短邊的平方和大于最長邊的平方，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，鈍角三角形的兩條較短邊的平方和小于最長邊的平方.

三、三角形的“四線”

例3（2016·恩施）如圖2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長為19cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為（）.

A.3cmB.6cm

C.12cmD.16cm

圖2

【解析】本題考查線段垂直平分線的定義及性質.由DE是AC的垂直平分線，得AE=CE，AD=CD.因為△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+ BD+CD=AB+BC=13cm，△ABC的周長=AB+ BC+AC=19cm，所以AC=6cm，則AE=AC=×6=3cm，故選A.

【評析】線段的垂直平分線可以讓等長線段通過旋轉移動位置，而求與線段的垂直平分線有關的三角形的周長、線段的長時，常常會用到轉化和整體思想.

例4（2016·南充）如圖3，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點D，E分別是直角邊BC，AC的中點，則DE的長為（）.

圖3

A.1B.2C.3D.1+3

【解析】本題考查了三角形中位線定理和直角三角形的性質.因為在Rt△ABC中，∠C= 90°，A=30°，所以AB=2BC=2.而點D，E分別是AC，BC的中點，△ACB的中位線DE=AB=1.故選A.

【評析】由三角形的中點條件計算線段的長，可以考慮三角形的中位線定理.遇有銳角為30°的直角三角形要考慮30度角所對的直角邊等于斜邊的一半.

四、折疊三角形

例5（2016·南充）如圖4，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平，再一次折疊，使點D落到EF上G點處，并使折痕經過點A，展平紙片后∠DAG的大小為（）.

圖4

A.30°B.45°C.60°D.75°

【解析】本題考查了翻折變換的性質以及平行線的性質.如圖5，由題意可得∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，則NG=AM=AN，得∠2=∠4，由EF∥AB，所以∠4=∠3，則∠1=∠2=∠3=×90°=30°，所以∠DAG=60°.故選C.

【評析】矩形的翻折通常和等腰三角形、等邊三角形相關，除了運用全等三角形的知識，還要用到直角三角形的性質、平行線的性質等進行角度的轉換.

五、等腰三角形

例6（2016·濱州）如圖6，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD= BE，∠A=50°，則∠CDE的度數為（）.

圖6

A.50°B.51°

C.51.5°D.52.5°

【解析】本題考查等腰三角形的兩個底角相等和三角形的內角和定理的運用.先根據AC=CD，得∠ADC=∠A=50°，再由CD=BD，可知∠B=∠BCD，從而求出∠B=∠ADC-∠BCD= 25°；由BD=BE，∠BDE=∠BED=77.5°，最后根據∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°，得∠CDE=180°-∠ADC-∠BDE=52.5°.

【評析】等腰三角形的“等邊對等角”的性質用來推導出兩角相等，然后再運用三角形的內角和定理計算相關角度．

六、直角三角形

例7（2016·東營）在△ABC中，AB=10，AC=2 10，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）.

A.10B.8C.6或10D.8或10

【解析】本題考查勾股定理和分類討論思想.如圖7所示，

在Rt△ABD中，

在Rt△ACD中，

所以BC=BD+CD=8+2=10.

如圖8所示，同理求出BD=8，CD=2，所以BC=BD-CD=8-2=6.故選C.

圖8

圖7

【評析】解答本題要根據題意畫出相應的圖形.易出現漏解的錯誤：只考慮高在三角形內部的情況，忽視高在外部的情況.

例8（2016·武漢）如圖9，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA= 5 5，則BD的長為．

圖9

【解析】本題考查了勾股定理及其逆定理的運用、相似三角形的構造及其性質.

連接AC，過D作DE⊥BC交BC的延長線于點E.

【評析】解答本題的關鍵是先要根據題中的已知線段的數據發現Rt△ACD，得到AC⊥CD，再利用一線三等角模型構造相似三角形，從而將BD放到一個直角三角形中，最后利用勾股定理求解即可．

七、全等三角形

例9（2016·金華）如圖11，已知∠ABC=∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是（）.

圖11

A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA

C.∠C=∠DD.BC=AD

【解析】本題考查三角形全等的判定方法.題目中已給出一組角相等，圖形中有一條公共邊，即已有一邊及一角對應相等，再需要一邊或一角相等即可.A選項與兩已知條件構成SSA，不能確定兩個三角形全等；B選項與兩已知條件構成ASA，能確定兩個三角形全等；C選項與兩已知條件構成AAS，能確定兩個三角形全等；D選項與兩已知條件構成SAS，能確定兩個三角形全等.故選A．

【評析】本題容易出錯的地方是誤以為有兩邊一角分別相等的兩個三角形全等而錯選．

例10（2016·常德）如圖12，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OB于點C，且PC=3，點P到OA的距離為.

圖12

【解析】本題考查了角平分線的性質.如圖13，直接過P作PD⊥OA于D，根據“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”可得PD=PC，從而得解.故答案為3.

圖13

【評析】求角平分線上的點到角的一邊的距離，一般情況是過該點作這條邊的垂線段，利用角平分線性質求解.

例11（2016·泰州）如圖14，在△ABC中，AB=AC，E在BA的延長線上，AD平分∠CAE.

（1）求證：AD∥BC；

（2）過點C作CG⊥AD于點F，交AE于點G，若AF=4，求BC的長.

圖14

【評析】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是證得△GAF∽△GBC.問題（1）是個基本問題：等腰三角形頂角的外角的角平分線平行于底邊，比較容易解決.問題（2）中，根據∠CAD=∠EAD和CG⊥AD，很容易發現△AFC≌△AFG，得CF=FG=CG，再利用問題（1）所證“AD∥BC”得△GAF∽△GBC，問題得解.

揚州大學附屬中學東部分校）